Основоположником динамического программирования является. Введение в динамическое программирование. Рекурсивное решение с кэшированием значений
Под средней величиной в статистике понимается обобщенная количественная характеристика признака в статистической совокупности, выражающая его типичный уровень в конкретных условиях места и времени.
Средняя величина исчисляется по качественно однороднойсовокупности единиц. Различают степенные и структурные средние.
Средняя арифметическаявеличина определяется в случае, когда общий объем изучаемого признака может быть получен, путем суммирования его индивидуальных значений. Средняя арифметическая представляет собой частное от деления общего объема данного признака в изучаемом явлении на число единиц совокупности.
Средняя гармоническая используется, когда имеются индивидуальные значения признака, общий объем явления (w=xf ), но неизвестны веса (f ).
Средняя геометрическая применяется при расчете средних темпов роста.
Средняяквадратическая применяется в тех случаях, когда в исходной информации осредняемые величины представлены квадратичными мерами (например, при расчете средних диаметров труб, стволов деревьев).
Средняя хронологическая применяется для определения среднего уровня в моментном ряду динамики.
Модой дискретного вариационного ряда называется вариант, имеющий наибольшую частоту. Ряды могут быть одно и многомодальными.
Медианой дискретного вариационного ряда называется вариант, делящий ряд на две равные части.
Таблица 3.1 – Формулы расчета средних величин
| Наименование средней | Простая форма | Взвешеннаяформа |
| Средняя арифметическая | = (3.1) | = (3.2) |
| Средняя гармоническая | = (3.3) | = (3.4) |
| Средняя квадратическая | = (3.5) | = (3.6) |
| Средняя геометрическая | = (3.7) | = (3.8) |
| Средняя хронологическая |
|
|
| Мода |
Начало модального интервала; h- длина модального интервала; Частота модального интервала; Частота предмодального интервала; Частота послемодального интервала. |
|
| Медиана |
Начало медианного интервала; h - длина медианного интервала; n - объем совокупности; Накопленная частота интервала, предшествующего медианному; Частота медианного интервала. |
|
(3.9)
(3.10)
(3.11)Для характеристики колеблемости или рассеяния значений признака применяются абсолютные и относительные показатели вариации.
Размах вариации (R ) представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака.
Среднее линейное отклонение (L) - это средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений отдельных вариант признака от среднего значения.
Дисперсия (σ 2) представляет собой средний квадрат отклонений вариант признака от их средней величины.
Среднее квадратическое отклонение (σ) определяется как корень квадратный из дисперсии.
Относительным показателем колеблемости служит коэффициент вариации , который позволяет судить об интенсивности вариации признака, а, следовательно, и об однородности состава изучаемой совокупности.
Таблица 3.2 – Формулы расчета показателей вариации
| Наименование показателя | Простая форма | Взвешеннаяформа |
| Размах вариации | R=х max - х min (3.12) |
|
| Среднее линейное отклонение | L = (3.13) | L = (3.14) |
| Дисперсия | = (3.15) |  (3.16)
|
| Среднее квадратическое отклонение | 
(3.17)
|  (3.18)
|
| Коэффициент вариации | V = или V = (3.19) |
|
Задача 3.1. По данным пяти сельскохозяйственных организаций (приложение А)определить среднюю численность работников, среднегодовую заработную плату на одного работника и показатели вариации численности работников и среднегодовой заработной платы. Сделать вывод.
Среднюю численность работников на одну организацию и показатели вариации рассчитать как простые формы показателей по формулам, приведенным в таблицах 3.1 и 3.2. Все вспомогательные вычисления провести с использованием макета таблицы3.3.
Таблица 3.3 - Вспомогательная таблица для расчета показателей вариации
численности работников
| Организация | Среднегодовая численность работников, чел. | Отклонение от средней, чел. | Квадрат отклонения |
| х | |||
| 1 | |||
| 2 | |||
| 3 | |||
| 4 | |||
| 5 | |||
| Итого | - |
Среднегодовую оплату труда работников и показатели вариации оплаты труда определить с использованием взвешенной формы показателей по формулам, приведенным в таблицах 3.1 и 3.2. Расчеты представить в таблице 3.4.
Таблица 3.4 - Вспомогательная таблица для расчета показателей вариации
среднегодовой заработной платы
| Организация | Среднегодовая оплата труда работника, тыс. руб. | Среднегодовая численность работников, чел | Фонд заработной платы, тыс. руб. | Отклонение от средней, тыс. руб. | Отклонения | Общий размер квадрата отклонений |
| х | f | х f | f | f | ||
| 1 | ||||||
| 2 | ||||||
| 3 | ||||||
| 4 | ||||||
| 5 | ||||||
| Итого | - | - |
Задача 3.3. Поданным таблицы 3.5 определить средний процент рентабельности продаж в организациях за каждый год, абсолютный прирост прибыли и рентабельности по каждойорганизации и в целом по всей совокупности.Сделать вывод.
Таблица 3.5 – Финансовые результаты реализации продукции
Задача 3.4. По даннымтаблицы 3.6 определить среднюю урожайность озимой пшеницы,модальное и медианное значения, показатели вариации. Сделать вывод.
Таблица 3.6 – Распределение организаций по урожайности озимой пшеницы
| Группа организаций по урожайности озимой пшеницы, ц/га | Число организаций в группе () | Среднее значение интервала () | |||
| 20,01 – 26,7 | 6 | ||||
| 26,71 – 33,4 | 9 | ||||
| 33,41 – 40,1 | 11 | ||||
| 40,11 – 46,8 | 13 | ||||
| 46,81 – 53,5 | 6 | ||||
| 53,51 – 60,2 | 5 | ||||
| Итого | 50 |
Задача 3.5. По данным таблицы 3.7 определить среднее число детей на одну семью, модальное и медианное значения. Ряд распределения изобразить графически. Сделать вывод.
Таблица 3.7 – Распределение семей по числу детей
Вопросы для самоподготовки
1. Что понимается под средней величиной в статистике?
2. Условия правильного применения средних величин.
3. Назовите виды и формы средних величин.
4. Что характеризует вариация признака?
5. Показатели вариации и способы их расчета.
РЯДЫ ДИНАМИКИ
Одной из важнейших задач статистики является изучение изменения экономических явлений во времени, путем построения и анализа рядов динамики. Ряд динамики представляет собой численные значения статистического показателя в последовательные моменты или периоды времени.
Графически ряды динамики изображаются линейными, либо столбиковыми диаграммами. По оси абсцисс откладываются показатели времени, а по оси ординат - уровни ряда (либо базисные темпы роста).
Введем условные обозначения:
у i – текущий (сравниваемый) уровень, i =1,2,3,…,n;
у 1 – уровень, принятый за постоянную базу сравнения (обычно начальный);
у п – конечный уровень.
Для характеристики развития явления во времени определяют показатели: абсолютный прирост, темп роста, темп прироста базисным и цепным способом, значение одного процента прироста (таблица 4.1).
Таблица 4.1- Расчет текущих показателей ряда динамики
| Показатель | Метод расчета |
|
| базисный (с постоянной базой) | цепной (с переменной базой) | |
| Абсолютный прирост (А) | (4.1) | (4.2) |
| Коэффициент роста (К р) | (4.3) | (4.4) |
| Темп роста (Т р) |  (4.5)
|  (4.6)
|
| Темп прироста (Т пр) |  (4.7)
|  (4.8)
|
| Абсолютное значение 1 % прироста (Зн.1%) | Зн.1% = 0,01 у i-1 или Зн.1%= (4.9) |
|
Для характеристики интенсивности развития явления за длительный период времени рассчитываются средние показатели динамики (таблица4.2).
Средние показатели динамики исчисляются одинаково для интервальных и моментных рядов, исключение составляет лишь расчет среднего уровня ряда.
Таблица 4.2 – Расчет средних показателей ряда динамики
| Показатель | Метод расчета |
| Средний уровень () а) интервального ряда | (4.10) |
| б) моментного ряда с равными интервалами |  (4.11)
|
| в) моментного ряда с неравными интервалами | (4.12) |
| Средний абсолютный прирост () | или (4.13) |
| Средний коэффициент роста () | = или (4.14) |
| Средний темп роста (), % | = · 100 % (4.15) |
| Средний темп прироста (), % | = -100 % или =( -1)·100% (4.16) |
| Среднее значение 1% прироста, | (4.17) |
Для выявления тенденции развития в рядах динамики применяют различные методы: укрупнения временных интервалов (периодов); скользящих средних; аналитического выравнивания.
Основным условием построения и анализа ряда динамики является сопоставимость уровней во времени.
К несопоставимости приводит изменение состава или территориальных границ изучаемой совокупности, переход к другим единицам измерения, инфляционные процессы. Несопоставимыми ряды динамики являются и в том случае, если они составлены из неодинаковых по продолжительности времени периодов.
При обнаружении несопоставимости уровней ряда должна применяться процедура смыкания, если невозможен их прямой пересчет.
Смыкание может быть произведено двумя способами.
1 способ. Данные за предшествующие периоды умножаются на коэффициент перехода, который определяется как отношение показателей на тот момент времени, когда произошло изменение условий формирования уровней ряда.
2 способ. Уровень переходного периода принимается для второй части ряда за 100% и от этого уровня определяются соответствующие показатели. При этом получается сопоставимый ряд относительных величин.
Иногда в динамических рядах отсутствуют промежуточные или последующие уровни. Их можно исчислить с помощью методов интерполяции (нахождение промежуточного неизвестного уровня, при наличии известных соседних уровней) и экстраполяции (нахождение уровней за пределами изучаемого ряда, т.е. продление в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом, или в прошлое на основании текущих уровней).
Пример 4.1 . По имеющимся данным о цене производителей на автомобильный бензин рассчитать показатели ряда динамики. Сделать вывод.
Таблица 4.3 - Расчет показателей ряда динамики
| Цена производителей автомобильного бензина, руб./т | Абсолютный прирост, руб. | Коэффициент роста |
прироста, % | Значение 1% прироста, руб. |
||||||
| базисный | цепной | базисный | цепной | базисный | цепной | базисный | цепной | |||
| А б | А ц | К р б | К р ц | Т р б | Т р ц | Т пр б | Т пр ц | Зн.1% | ||
| 2006 | 9159,0 | - | - | - | - | 100,0 | 100,0 | - | - | - |
| 2007 | 10965,0 | 1806,0 | 1806,0 | 1,197 | 1,197 | 119,7 | 119,7 | 19,7 | 19,7 | 91,59 |
| 2008 | 14268,0 | 5109,0 | 3303,0 | 1,558 | 1,301 | 155,8 | 130,1 | 55,8 | 30,1 | 109,65 |
| 2009 | 8963,0 | -196,0 | -5305,0 | 0,979 | 0,628 | 97,9 | 62,8 | -2,1 | -37,2 | 142,68 |
| 2010 | 13831,0 | 4672,0 | 4868,0 | 1,510 | 1,543 | 151,0 | 154,3 | 51,0 | 54,3 | 89,63 |
| Средние показатели | 11437,2 | 107,16 | ||||||||
Вывод: расчеты показали, что средняя цена бензина в динамике за 5 лет составила11437,2 руб. за 1 т. При этом ежегодно наблюдался рост цены в среднем на 1168,0 руб. или на 10,9%.Один процент прироста соответствовал107,16 руб.
Пример 4.2 . Методом аналитического выравнивания определить тенденцию изменения средней цены производителей лука репчатого. Сделать вывод.
Методические указания:
Метод аналитического выравнивания состоит в подборе для данного ряда динамики такой теоретической линии, которая выражает основные черты или закономерности изменения уровней явления. Чаще всего при выравнивании используют линейное уравнение:
= а + bt, (4.18)
где а – свободный член уравнения;
b – коэффициент;
t – порядковый номер года.
Параметры а и b определяют способом наименьших квадратов, решая систему двух нормальных уравнений:
(4.19)
Систему можно упростить, перенеся начало отсчета времени t (начало координат) в середину ряда динамики. Тогда∑t = 0 и система примет вид:
Отсюда получаем:
(4.20)
Заполним вспомогательную таблицу 4.4.
По имеющимся данным найдем параметры «а» и «b» следующим образом:
а =
;b
= 
.
Уравнение прямой примет вид: = 6,53 + 0,49t.
Подставим значения t в уравнение и найдем теоретические (выравненные) уровни средней цены производителей репчатого лука (последний столбец таблицы 4.4).
Таблица 4.4 - Вспомогательная таблица
| Год | Средняя цена производителей лука репчатого, руб./кг у | Номер года t | Квадрат номера года t 2 | Произведение параметров уt | Выравненные значения =а+bt |
| 2002 | 4,40 | -4 | 16 | -17,59 | 4,57 |
| 2003 | 5,46 | -3 | 9 | -16,38 | 5,06 |
| 2004 | 5,48 | -2 | 4 | -10,96 | 5,55 |
| 2005 | 4,87 | -1 | 1 | -4,87 | 6,04 |
| 2006 | 7,56 | 0 | 0 | 0,00 | 6,53 |
| 2007 | 8,36 | 1 | 1 | 8,36 | 7,02 |
| 2008 | 6,70 | 2 | 4 | 13,40 | 7,51 |
| 2009 | 6,19 | 3 | 9 | 18,58 | 8,00 |
| 2010 | 9,72 | 4 | 16 | 38,88 | 8,49 |
| Итого | 58,73 | 0 | 60 | 29,41 | 58,73 |
Фактические и теоретические уровни цен изобразим на рисунке 4.1.
|
Рисунок 4.1-Динамика средней цены производителей
репчатого лука, руб./кг
Вывод: расчеты показали, что средняя цена лука репчатого за 2002-2010 гг. составила 6,53 руб. за 1 кг. В среднем она ежегодно повышалась на 0,49 руб. На графике наглядно видна четко выраженная тенденция к росту цены исследуемогопродукта.
Пример 4.3. В 2007 г. на предприятии была произведена смена оборудования, что привело к несопоставимости ряда динамики (таблица 4.5). Привести его к сопоставимому виду, применив смыкание динамического ряда. Сделать вывод.
Таблица 4.5 – Динамика объемов производства продукции предприятия
а) 
19,7 ∙ 1,0755 = 21,2;
б) 
.
Вывод: расчеты показали, что смена оборудования на данном предприятии привела к росту объема производства продукции. При этом в динамике за 6 лет он увеличился на 4,9 млн. руб. или на 23,1 %.
Задача 4.1. Численность работников предприятия на 1.03 составила 315 чел. 6.03 уволилось 4 чел., 12.03 принято 5 чел., 19.03 принято 3 чел., 24.03 уволилось 8 чел., 28.03 принято 2 чел. Определить среднюю численность работников за март месяц.
Задача 4.2. Поголовье коров в сельскохозяйственнойорганизации на 1.01 составляло 800 гол.,15.01 было выбраковано 30 гол., 5.02 переведено из нетелей в основное стадо 55 гол., 24.02 куплено 10 гол., 12.03 продано 15 гол., 21.03 выбраковано 25 гол. Определить среднее поголовье коров за первый квартал.
Задача 4.3. По данным приложенияВ о средней цене производителей на отдельные виды товаров за последние пять лет определить базисные и цепные показатели ряда динамики, показатели динамики в среднем за период. Расчеты представить в табличной форме. Сделать вывод.
Задача 4.4. Выявить общую тенденцию средней цены производителей на отдельные товары по данным приложенияВ, используя прием аналитического выравнивания.Фактические и выравненные (теоретические) уровни динамического ряда изобразить графически. Сделать вывод.
Задача 4.5. Используя взаимосвязь показателей, определить уровни ряда динамики и недостающие в таблице 4.6 базисные показатели динамики по имеющимся данным об урожайности озимой пшеницы.
Таблица 4.6 –Вспомогательная таблица для определения урожайности озимой
пшеницы и недостающих базисных показателей динамики
| Урожайность озимой пшеницы, ц/га | Базисные показатели динамики | Значение 1% прироста, ц/га |
|||
| абсолютный прирост, ц | темп роста, % | темп прироста, % | |||
| 2002 | 55,1 | - | - | - | |
| 2003 | - 2,8 | ||||
| 2004 | 110,3 | ||||
| 2005 | |||||
| 2006 | 17,1 | 0,633 | |||
| 2007 | 121,1 | ||||
| 2008 | 13,5 | ||||
| 2009 | |||||
| 2010 | 20,4 | 0,691 | |||
Задача 4.6. Используя взаимосвязь показателей, определить уровни ряда динамики и недостающие в таблице 4.7 цепные показатели динамики среднегодового удоя молока от одной коровы в Краснодарском крае.
Таблица 4.7 - Вспомогательная таблица для определения среднегодового
удоя молока и недостающих цепных показателей динамики
| Среднегодовой удой молока от одной коровы, кг | Цепные показатели динамики | Значение 1% прироста, |
|||
| абсолютный прирост, кг | темп роста, % | темп прироста, % | |||
| 2004 | 2784 | - | - | - | |
| 2005 | 405 | ||||
| 2006 | 110,5 | ||||
| 2007 | |||||
| 2008 | 152 | 37,65 | |||
| 2009 | 4,2 | ||||
| 2010 | -1,1 | ||||
Задача4.7. До 2007 г. в состав производственного объединения входили 20 организаций. В 2007 г. в него влились еще 4 организации, и оно стало объединять 24 организации. Провести смыкание ряда динамики, используя данные таблицы 4.8. Сделать вывод.
Таблица 4.8 –Динамика объема реализации продукции объединения, млн. руб.
Вопросы для самоподготовки
1. Ряды динамики, их элементы, правила построения.Виды рядов динамики.
2. Показатели ряда динамики и порядок их расчета.
3. Приемы выявления основной тенденции развития в рядах динамики.
4. Что понимается под интерполяцией и экстраполяцией ряда динамики?
5. Как проводится смыкание рядов динамики?
При анализе данных статистического наблюдения часто возникает необходимость получить обобщенную характеристику изучаемых процессов и явлений. Одной из важнейших обобщающих характеристик статистического анализа является средняя величина . В средних величинах погашаются индивидуальные различия единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и находят выражение общие и закономерные черты, свойственные всей совокупности в целом.
Средняя величина – обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень явления в расчете на единицу однородной совокупности. В средних величинах выражается действие общих условий, закономерность изучаемого явления. Метод средних является одним из важнейших статистических методов. Основным условием правильного научного использования средней величины в статистическом анализе является качественная однородность совокупности, по которой исчислена средняя. Поэтому перед исчислением средних величин все единицы совокупности расчленяют на однородные группы, по которым и исчисляют средние. Если не произвести такого расчленения, то в результате можно прийти к результату, который совершенно неправильно будет характеризовать наблюдаемую совокупность. Метод средних неотделим от метода группировок, так как именно группировки обеспечивают качественную однородность исследуемых статистических совокупностей.
Средние величины широко используются при изучении социально-правовых процессов, отражающих результаты деятельности государства, органов и учреждений, общественных структур (например, средние темпы роста и прироста объема преступности или раскрываемости, изменение структуры системы профилактики и др.).
Средние величины, используемые в статистическом анализе можно разделить на два класса: степенные средние и структурные средние.
Степенные средние определяются по формуле:
где х – индивидуальные значения осредняемого признака;
n – число единиц совокупности
z – степень средней.
При подстановке в формулу различных значений z получаем выражения для вычисления различных видов степенных средних:
при z = 1 – средняя арифметическая;
при z = 0 – средняя геометрическая;
при z = -1 – средняя гармоническая;
при z = 2 – средняя квадратическая.
Наиболее распространенным видом степенной средней является средняя арифметическая . Она используется в тех случаях, когда объем осредняемого признака образуется как сумма его значений у отдельных единиц рассматриваемой совокупности.
В зависимости от характера исходных данных средняя арифметическая определяется двумя способами.
Допустим, что количество правонарушений по 10 населенным пунктам региона за определенный период составило: 6000, 5900, 5700, 5600,5400, 5300, 4900, 4500, 3600, 3100. Требуется вычислить среднее количество правонарушений по региону. Для его определения необходимо просуммировать количество правонарушений по всем населенным пунктам и полученную сумму разделить на число населенных пунктов в регионе.
Среднее число правонарушений в регионе составило 5000. Используемая в данном примере формула называется простой средней арифметической . Простой она называется потому, что исчисляется простым суммированием индивидуальных значений признака и делением полученной суммы на объем совокупности. Эта формула применяется в тех случаях, когда исходные данные не сгруппированы (не образованы в группы по какому-то признаку) и каждой единице совокупности соответствует определенное значение признака, либо, когда все частоты (частости) равны между собой.
Если же отдельные значения признака встречаются не один, а несколько, причем неодинаковое число раз, то среднюю величину рассчитывают по формуле взвешенной средней арифметической:
Для исчисления взвешенной средней выполняются следующие последовательные операции: умножения каждого варианта на соответствующую ему частоту, суммирование полученных произведений и деление полученной суммы на сумму частот. Рассмотрим пример применения взвешенной средней арифметической.
Пример 4.1.
Годовая нагрузка 15 судей городского суда, специализирующихся на.рассмотрении гражданских дел различной направленности, составила: 17;42;47;47;50;50;50;63;68;68;75;78;80;80;85. Вычислить среднюю годовую нагрузку на одного судью.
Решение.
В данном примере мы имеем дело с дискретным рядом, причем некоторые варианты ряда повторяются несколько раз, например, 47; 50 и т.д. Следовательно, необходимо для исчисления средней арифметической применить формулу взвешенной средней. Представим ряд в виде таблицы.
Таблица 4.1
Подставим в формулу для исчисления средней арифметической взвешенной значения вариантов (количество гражданских дел) и соответствующие им частоты (количество судей).
Следовательно, средняя годовая нагрузка 15 судей городского суда составляет 60 дел.
Часто вычисление средних величин приходится производить по данным, сгруппированным в виде интервальных рядов распределения, когда значения признака представлены в виде интервалов. Для того, чтобы определить среднюю в интервальном ряду, необходимо перейти от интервального ряда к дискретному путем замены интервалов значений признака их серединами. В закрытом интервале (в котором указаны обе границы – нижняя и верхняя) серединное значение определяется как полусумма значений верхней и нижней границ. Иногда приходится иметь дело с открытыми интервалами (в которых имеется лишь одна из границ – верхняя или нижняя). В этом случае предполагается, что ширина данного интервала (расстояние между границами интервала) такая же, как и у соседнего интервала. После перехода от интервального ряда к дискретному вычисление средней производится по формуле взвешенной средней арифметической.
Рассмотрим пример исчисления средней арифметической для интервального ряда.
Пример 4.2.
Сроки рассмотрения уголовных дел районным судом характеризуются следующим образом:
до 3-х дней – 360 дел;
от 3-х до 5-ти дней – 190 дел;
от 5-ти до 10-ти дней – 70 дел;
от 10-ти до 20-ти дней – 170 дел.
Определить средний срок рассмотрения дела.
Решение.
Занесем статистические данные в таблицу 4.2. Для этого представим их в виде интервального ряда. При этом первый интервал будет открытым – до 3-х дней, у него нет нижней границы. Поэтому при нахождении середины данного интервала следует принимать его величину равной величине последующего интервала: 3-5 лет. Таким образом, открытый интервал до 3-х лет будет аналогичен закрытому интервалу 1-3 года и его середина будет равна 2-м годам. Для облегчения исчисления взвешенной средней рекомендуем предварительные вычисления заносить в таблицу, в нашем случае это произведение вариантов на частоты – последний столбец.
Таблица 2
Теперь воспользуемся формулой для исчисления взвешенной средней арифметической:
дней
Как уже было отмечено выше, вторая группа средних, применяемых в статистическом анализе – структурные средние . Их используют для характеристики структуры совокупности. К структурным средним относятся такие показатели, как мода и медиана .
Модой (Мо) называется значение признака (вариант), который наиболее часто встречается в исходной совокупности.
В дискретном вариационном ряду Мо является вариант, имеющий наибольшую частоту. Рассмотрим порядок определения моды на примере:
Пример 4.3.
При обследовании 500 уголовных дел по групповым преступлениям установлены следующие их размеры по количеству членов группы – таблица 4.3.
Таблица 4.3
Решение.
Модальной величиной в данном примере будет преступная группа, состоящая из 4 человек (Мо = 4), поскольку этому значению в дискретном ряду распределения соответствует наибольшее количество уголовных дел – 250 (именно этот вариант имеет наибольшую частоту).
Для определения моды в интервальном ряду распределения сначала находят модальный интервал (интервал, которому соответствует максимальная частота), а затем моду вычисляют по формуле:
где х 0 – нижняя граница модального интервала;
h – ширина модального интервала;
f Mo – частота модального интервала;
f Mo -1 – частота интервала, предшествующего модальному;
f Mo +1 – частота интервала, следующего за модальным.
Пример 4.4 .
105 уголовных дел по конкретному виду преступлений за год распределились по срокам расследования следующим образом – таблица 4.4. Найти моду.
Таблица 4.4
Решение.
Наибольшей частотой в данном случае является 50 (дел), следовательно, модальный интервал будет 3-4 месяца.
Воспользуемся формулой для нахождения моды в интервальном ряду и подставим необходимые значения:
Следовательно, чаще всего встречающийся срок расследования уголовных преступлений за год составил 3,5 месяца.
Медиана - это значение признака, занимающее центральное место в ранжированной совокупности, при этом первая половина совокупности имеет значение признака меньше, чем медиана, а вторая имеет значения признака больше, чем медиана.
Для определения медианы в дискретном вариационном ряду необходимо:
1) Вычислить накопленные частоты.
2) Определить порядковый номер медианы по формуле:
3) По накопленным частотам найти значение признака, которое имеет единица совокупности с найденным порядковым номером.
Пример 4.5.
Распределение уголовных дел по срокам рассмотрения представлены в таблице 4.5. Вычислить медианное значение срока рассмотрения дел.
Таблица 4.5
Решение.
Сначала необходимо вычислить накопленные частоты – таблица 4.5, столбец 3. Находим такое значение накопленной частоты, которое равно или первый раз превышает значение 200: 
. Этому значению соответствует накопленная частота, равная 260-ти, следовательно, медианой ряда сроков заседаний является срок продолжительностью 4 дня (Ме = 4).
Для того, чтобы найти медиану в интервальном ряду распределения, необходимо:
1) Вычислить накопленные частоты;
2) Определить порядковый номер медианы, используя ту же формулу, что и для дискретного вариационного ряда;
3) По накопленным частотам найти интервал, содержащий нужную нам единицу совокупности (медианный интервал);
4) Вычислить медиану по формуле:
где х 0 – нижняя граница медианного интервала;
h – ширина медианного интервала;
f M е – частота медианного интервала;
– накопленная частота интервала, предшествующего медианному;
Пример 4.6
Для иллюстрации нахождения медианы в интервальном ряду возьмем условие примера 4.4.
Решение.
Сначала необходимо вычислить накопленные частоты. Воспользуемся, как и в предыдущих примерах, табличной формой записи – таблица 4.6.
Таблица 4.6
Затем находим порядковый номер медианы:
Первая накопленная частота, равная или превышающая половину частот ряда (порядковый номер медианы) – это 85 (см. табл. 4.6). Следовательно, медианный интервал в данном случае «3-4 месяца».
Воспользуемся формулой для нахождения медианы в интервальном ряду:
Медианное значение срока расследования составляет 3,35 месяца, т.е. первая половина уголовных дел была расследована менее, чем за 3,35 месяца, а вторая половина дел – более, чем за 3,35 месяца.
Средняя величина дает обобщающую характеристику варьирующего признака. Однако в ряде случаев этого бывает недостаточно и возникает потребность в исследовании вариации (колебаний), которые не проявляются в средней величине.
Изучая результаты статистического наблюдения того или иного признака у конкретных единиц совокупности, практически всегда можно отметить различие между ними.
В процессе статистического исследования того или иного количественного признака отдельные единицы наблюдения могут существенно различаться между собой даже в пределах однородной совокупности. Наблюдаемые различия индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности в статистике принято называть вариацией признака.
Средние величины двух или более совокупностей могут быть одинаковыми, но при этом исследуемые совокупности существенно различаются величиной вариации, т.е. в одной совокупности отдельные варианты могут далеко отстоять от средней величины, а в другой - размещаться более кучно вокруг средней. В том случае, когда значения признака имеют большое колебание, как правило, можно говорить и о большем разнообразии тех условий, которые воздействовали на исследуемую совокупность.
Если отдельные варианты наблюдаемой статистической совокупности недалеко отстоят от средней величины, то можно говорить, что данная средняя величина достаточно полно отражает изучаемую совокупность, но при этом сама средняя величина ничего не говорит о возможной вариации исследуемого признака.
Изучение характера и меры возможной случайной вариации распределения признаков в исследуемой совокупности является одним из ключевых разделов статистики.
Вариация свойственна практически всем без исключения природным и общественным явлениям и процессам, в том числе и в юридической сфере.
Для измерения величины вариации признака в совокупности используют следующие показатели размера вариации:
§ размах вариации,
§ среднее линейное отклонение,
§ дисперсия (средний квадрат отклонения),
§ среднее квадратическое отклонение,
§ коэффициент вариации.
Размах вариации является наиболее простым измерителем вариации и представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака в совокупности:
где R – размах вариации;
х max – максимальное значение признака;
х min – минимальное значение признака.
Размах вариации учитывает лишь крайние отклонения и не отражает колеблемости всех вариант в совокупности.
Для получения обобщенной характеристики распределения отклонений исчисляют среднее линейное отклонение , которое учитывает различия всех единиц совокупности. Данный показатель представляет собой среднюю арифметическую величину из отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической без учета знака этих отклонений.
где – среднее линейное отклонение;
х i – индивидуальные значения признака;
– среднее значение признака;
n – объем совокупности.
Данная формула представляет собой простое среднее линейное отклонение . Взвешенное среднее линейное отклонение определяется следующим образом:
где f i – частота повторений.
Среднее линейное отклонение как меру вариации признака в статистическом анализе используют довольно редко, так как в большинстве случаев этот показатель не отражает степень рассеивания признака.
Для преодоления недостатков среднего линейного отклонения вычисляют показатель, наиболее объективно отражающий меру вариации – дисперсию (средний квадрат отклонений). Она определяется как средняя из отклонений, возведенных в квадрат.
- простая дисперсия
- взвешенная дисперсия
При возведении отклонений вариант от средней арифметической величины в квадрат положительные и отрицательные отклонения получают один и тот же положительный знак. Кроме того, большие отклонения от средней величины, будучи возведенными в квадрат, получают и больший «удельный вес», оказывая большее влияние на величину показателя вариации. Однако, возводя отклонения вариант от средней арифметической величины в квадрат, мы искусственно увеличиваем и сам показатель вариации. Чтобы преодолеть этот недостаток, вычисляется среднее квадратическое отклонение , которое исчисляется путем извлечения квадратного корня из среднего квадрата отклонения (дисперсии).
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение являются общепринятыми мерами вариации признака.
Приведенные показатели вариации выражаются именованными числами, имею те же единицы измерения, что и изучаемый признак, т.е. дают представление об абсолютной величине вариации признака.
Для сравнения степени колеблемости разнородных явлений, разных по своему характеру и размерам признаков, используется относительный показатель вариации, который называется коэффициентом вариации.
Коэффициент вариации дает возможность сопоставить вариацию одного и того же признака в разных статистических совокупностях, а также разнородных признаков одной и той же или различных статистических совокупностей.
где V – коэффициент вариации;
– среднее квадратическое отклонение;
– среднее арифметическое значение признака
По величине коэффициента вариации судят об однородности совокупности. Если его значение не превышает 33%, то совокупность считается однородной.
Рассмотрим порядок расчета показателей вариации на следующем примере.
Пример 4.7.
Имеются данные промежуточной аттестации студентов одной из групп юридического факультета.
5 5 4 4 5 5 5 2 4 4 3 5 4 4 3 5 5 5 3 2 4 3 4 5 4 5 3 5 2 2 4 5 3 3 5
Найти размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Сделать выводы.
Решение.
Составим таблицу для промежуточных вычислений – таблица 47.
Таблица 4.7
| Баллы, x i | Частота, f i | x i f i | x i - | |x i - | f i | (x i - ) 2 | (x i - ) 2 f i |
| -2 | ||||||
| -1 | ||||||
| Итого: |
1) Найдем средний балл по формуле взвешенной средней арифметической:
балла
2) Размах вариации равен балла
3) Среднее линейное отклонение ищем по формуле взвешенного линейного отклонения 
балла
4) Дисперсия также находится в данном случае по формуле взвешенной дисперсии 
5) Среднее квадратическое отклонение 
6) Коэффициент вариации 
Вывод: коэффициент вариации меньше 33%, следовательно, данная совокупность однородная.
В данном случае рассматривался пример вычисления показателей вариации для дискретного ряда. Для интервального ряда порядок вычисления показателей вариации аналогичен, а x i будет соответствовать серединам интервалов.
1. Понятие средней величины в статистике.
2. Виды средних величин. Их краткая характеристика.
3. Средняя арифметическая. Ее виды.
4. Свойства средней арифметической.
5. Структурные средние.
6. Понятие моды и медианы.
7. Определение моды и медианы в дискретном ряду распределения.
8. Определение моды и медианы в интервальном ряду распределения.
9. Графический метод определения структурных средних.
10. Понятие вариации признака.
11. Абсолютные показатели вариации признака в совокупности.
12. Коэффициент вариации, его роль в статистическом анализе.
Задачи
Задача 1 . Годовая нагрузка 20 судей городского суда, специализирующихся на рассмотрении гражданских дел различной направленности, составила: 17;42;47;47;50;50;50;63;68;68;75;78;80;80;85;72;81;45;55;60. Вычислите среднюю годовую нагрузку на одного судью.
Задача 2 . Возрастной состав лиц, совершивших преступления, характеризуется следующими данными: в возрасте 14-15 лет – 69,2 тыс. чел.; 16-17 лет – 138,9; 18-24 года – 363,3; 25-29 лет – 231,0; 30 лет и старше – 791,6 тыс. чел.. Вычислите средний возраст преступников.
Задача 3 . Состояние преступности по населенным пунктам региона характеризуется следующими данными:
Определите моду и медиану количества совершенных преступлений.
Задача 4 . Имеются данные о среднем размере ущерба от преступных посягательств в результате совершения хищений чужого имущества:
Определите моду и медиану среднего размера ущерба.
Задача 5 . Производительность труда следователей двух подразделений ОВД характеризуется следующими данными:
Вычислить показатели вариации производительности труда следователей в 1-ом и 2-ом подразделениях, по результатам расчета сделать выводы.
Задача 6 . По данным о распределении числа правонарушений по возрасту их субъектов определить среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Сделать выводы.
- СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ВЗАИМОСВЯЗИ СОЦИАЛЬНО-ПРАВОВЫХ ЯВЛЕНИЙ
Одна из основных задач, с которой встречается каждый юрист, правовед – оценка взаимосвязи между переменными, отражающими социально-правовые явления или процессы. К примеру, нередко проблему преступности молодежи рассматривают в зависимости от уровня безработицы. Неэффективность институтов социальной защиты связывают с миграционными потоками, рассматривают как последствия въезда (выезда) на территорию дополнительного числа людей и т.д.
Очевидно, что точность полученных результатов будет зависеть от того, насколько полно мы учтем взаимосвязь всех возможных переменных величин при построении статистической модели изучаемого социально-правового процесса или явления.
Связи в статистике классифицируют по тесноте, направлению, форме и числу факторов.
По тесноте различают функциональные и статистические связи.
При функциональной связи с изменением значений одной переменной вторая изменяется строго определенным образом, т.е. каждому значению факторного (независимого) признака соответствует одно, строго определенное значение результативного (зависимого) признака. В реальности функциональных связей не существует, они являются лишь абстракциями, полезными при анализе явлений.
Связь, при которой каждому значению факторного признака соответствует не одно, а несколько значений результативного признака называется статистической (стохастической).
По направлению связи делят на прямые (положительные) и обратные (отрицательные). При прямой связи направление изменения факторного признака совпадает направлению изменения результативного признака. При обратной связи направления изменения значений факторного и результативного признаков противоположны.
По аналитической форме различают линейные и нелинейные связи. Линейные связи графически отображаются прямой, нелинейные – параболой, гиперболой, показательной функцией и т.п.
В зависимости от количества факторов, действующих на результативный признак, существуют парные (однофакторные) и множественные (многофакторные) связи. В случае парной связи значения результативного признака обусловлены действием одного фактора, при множественной связи – нескольких факторов.
Для исследования статистических связей используется целый комплекс методов: корреляционный анализ, регрессионный анализ, дискриминантный анализ, кластерный анализ, факторный анализ и др. Остановимся на рассмотрении корреляционного и регрессионного анализа.
Корреляционно-регрессионный анализ как общее понятие позволяет решать следующие задачи:
§ измерение тесноты связи между двумя (и более) переменными величинами;
§ определение направления связи;
§ установление аналитического выражения (формы) взаимосвязи между явлениями;
§ определение возможных ошибок показателей тесноты связи и параметров уравнений регрессии.
Статистические методы различных обобщений, указывая на наличие прямой или обратной связи между признаками, не дают представления о мере связей, ее количественном выражении. Эту задачу решает корреляционный анализ, который позволяет установить характер взаимосвязи и количественно ее измерить.
Для измерения тесноты связи между результативным и факторным признаками наиболее широко используется линейный коэффициент корреляции , который был введен К. Пирсоном. В теории разработаны различные модификации формул для расчета коэффициента корреляции.
Где - среднее арифметическое произведения факторного и результативного признака;
Среднее арифметическое факторного признака;
Среднее арифметическое результативного признака;
Среднее квадратическое отклонение факторного признака;
Среднее квадратическое отклонение результативного признака;
n – число наблюдений.
Линейный коэффициент корреляции принимает значения в диапазоне от – 1 до 1. Чем ближе его значение по абсолютной величине к 1, тем теснее связь. Его знак указывает на направление связи: знак «–» соответствует обратной связи, знак «+» – прямой. Степень тесноты взаимосвязи признаков в зависимости от коэффициента корреляции приведена в таблице 5.1.
Таблица 5.1
Для оценки значимости коэффициента корреляции применятся t -критерий Стьюдента . Для этого определяется расчетное (фактическое) значение критерия:
Где - линейный коэффициент парной корреляции;
n – объем совокупности.
Расчетное значение t -критерия сравнивается с критическим (табличным), которое выбирается из таблицы значений Стьюдента (приложение 1) в зависимости от заданного уровня значимости и числа степеней свободы k = n – 2.
Если , то величина коэффициента корреляции признается существенной.
Рассмотрим расчет линейного коэффициента корреляции на примере.
Пример 5.1.
Из имеющихся 11 пар данных на осужденных с информацией: стаж работы/ количество изготовленных изделий, представленных в таблице 5.2, рассчитать линейный коэффициент корреляции, сделать выводы:
Регрессионный анализ позволяет установить аналитическую зависимость, в которой изменение среднего значения результативного признака обусловлено влиянием одной или нескольких независимых величин, а множество прочих факторов, также оказывающих влияние на результативны
В статистике средней величиной называют обобщающий показатель совокупности однородных общественных или природных явлений, который показывает типичный уровень варьирующего признака в расчете на единицу совокупности в конкретный момент времени.
Нахождение среднего - один из распространенных приемов обобщения. Средняя величина отражает то общее, что типично (характерно) для всех единиц изучаемой совокупности, но в то же время она игнорирует различия отдельных единиц. Мы уже говорили, что при неограниченном увеличении количества наблюдений (п -» оо) средняя величина, согласно закону больших чисел, будет неограниченно приближаться к его математическому ожиданию, т. е. при п -> оо можно записать х ~ М[Х], здесь х - средняя величина. То есть средняя величина - это оценка математического ожидания.
Сделаем небольшое отступление и приведем краткие сведения об оценках параметров, полученных в результате п опытов. Предположим, что надо определить по результатам п опытов некоторый параметр d. Приближенное значение этого параметра будем называть его оценкой и обозначим d. Оценка d должна удовлетворять ряду требований, чтобы в каком-то смысле быть оценкой “доброкачественной”.
Оценка d при увеличении числа опытов должна сходиться по вероятности к искомому параметру, т. е.
Оценка, обладающая таким свойством, называется состоятельной.
Кроме того, пользуясь оценкой d вместо самого параметра d, желательно не делать систематической ошибки, т. е. математическое ожидание оценки должно быть равным самому параметру:
Оценка, которая обладает данным свойством, называется несмещенной.
Было бы хорошо, если бы выбранная несмещенная оценка d была как можно менее случайной, т. е. обладала по сравнению с другими минимальной дисперсией:
Оценка, которая обладает данным свойством, называется эффективной.
В реальных условиях не всегда удается удовлетворить всем перечисленным требованиям. Тем не менее при выборе оценки любого параметра желательно эту оценку рассмотреть со всех перечисленных точек зрения.
Вернемся к средним величинам. При их вычислении при большом количестве наблюдений случайности взаимопога- шаются (это следует из закона больших чисел), следовательно, можно абстрагироваться от несущественных особенностей изучаемого явления и от количественных значений признака в каждом конкретном опыте.
Крупный вклад в обоснование и развитие теории средних величин внес А. Кетле. Согласно его учению массовые процессы формируются под влиянием двух групп причин. К первой группе общих для всех единиц массовой совокупности причин относятся те из них, которые определяют состояние массового процесса. Они формируют типичный уровень для единиц данной однородной совокупности.
Вторая группа причин формирует специфические особенности отдельных единиц массовой совокупности и, следовательно, их разброс от типичного уровня.
Эти причины не связаны с природой изучаемого явления, поэтому их называют случайными причинами.
Средняя величина, полученная по всей совокупности, называется общей, а средние величины, вычисленные по каждой группе, называются групповыми средними. Есть два вида средних величин: степенные средние (средняя арифметическая и др.), структурные средние (мода, медиана).
Рассмотрим степенные средние. Степенные средние определяются исходя из формулы
где х - среднее значение;
х { - текущее значение изучаемого признака;
т - показатель степени средней;
п - количество признаков (вариант).
В зависимости от показателя т степени средней получаем следующие виды степенных средних:
- - среднюю гармоническую х гар, если т = -1;
- - среднюю геометрическую эс геом, если т = 0;
- - среднюю арифметическую х ар, если т = 1;
- - среднюю квадратическую х квад, если т = 2;
- - среднюю кубическую х куб., если т = 3,
- - ИТ. д.
При использовании одних и тех же данных чем больше т
в формуле (6.4), тем больше значение средней, т. е.
Приведем конкретные формулы для вычисления некоторых видов степенных средних.
При т = -1 получаем среднюю гармоническую:
В том случае, если исходные данные сгруппированы, используются взвешенные средние. В качестве веса может использоваться частота р (количество опытов, в которых появилось интересующее нас событие) или относительная частота
Запишем формулы для взвешенной средней гармонической:
При т = 0 получаем среднюю геометрическую:
т. е. получили неопределенность.
Для ее раскрытия прологарифмируем обе части формулы (6.4.)
затем подставляем т = 0 и получаем
т. е. имеем неопределенность вида Для раскрытия этой неопределенности применяем правило Лопиталя. Полученный результат потенцируется, и окончательно получаем
Широкое применение средняя геометрическая получила для нахождения средних темпов изменения в рядах динамики и в рядах распределения.
Запишем формулы для взвешенной средней геометрической.
Приведем конкретный пример нахождения средней геометрической взвешенной по формуле (6.11).
Пример 6.1
Исходные данные наблюдений приведены в табл. 6.1.
Таблица 6.1
В табл. 6.1 х. - результаты, принятые некоторой случайной величиной X в г-м опыте; р. - частота события - показывает, сколько раз в результате всех опытов появилось интересующее нас событие. Например, х = 2 появилось в 24 опытах 5 раз.
Относительная частота события (частость).
По формуле (6.11) получаем:
По формуле (6.12) имеем
При т = 1 получаем среднюю арифметическую:
Средняя арифметическая - наиболее распределенный вид среди всех видов степенных средних. Она используется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности является суммой значений признаков отдельных единиц.
Приведем формулы для нахождения средней арифметической взвешенной:
При большом количестве наблюдений, согласно закону больших чисел, формула (6.15) определяет оценку математического ожидания т. е.
При т = 2 получаем среднюю квадратическую:
Она используется для вычисления среднего размера признака, выраженного в квадратных единицах.
Формулы для нахождения средней квадратической взвешенной имеют вид:
При га = 3 получаем среднюю кубическую:
Она применяется для нахождения среднего размера признака, выраженного в кубических единицах.
Формулы для вычисления средней кубической взвешенной имеют вид:
Теперь рассмотрим структурные средние: моду и медиану. В статистике, в отличие от теории вероятностей, имеем дело с оценками этих величин. Мы будем обозначать их теми же буквами, что и в главе 2, но с тильдой.
Мода в статистике (Мо) - значение случайной величины, которое встречается в статистическом ряду распределения чаще всего, т. е. имеет наибольшую частоту или относительную частоту (частость).
Например, в табл. 6.1 наибольшая относительная частота / = 0,33, поэтому мода равна Мо = 5.
Если мы имеем группированный ряд распределения с равными интервалами, то моду можно найти по формуле
где Мо нижн - нижняя граница модального интервала;
г Мо - длина модального интервала;
Рмо - частота модального интервала;
М-мо_, - частота интервала, предшествующего модальному;
М-мо +1 -- частота интервала, следующего за модальным.
Заметим, что для расчета можно использовать и относительные частоты.
Медиана в статистике - варианта, которая находится в середине ранжированного ряда распределения, т. е. значение медианы находиться по ее порядковому номеру.
Если ряд распределения имеет нечетное число элементов, номер медианы находиться по формуле
Например, в табл. 6.2 приведены величины окладов профессорско-преподавательского состава кафедры высшей математики.
Таблица 6.2
Количество элементов ряда равно 5, поэтому по формуле (6.23) находим номер медианы , следовательно, меди
ана в данном случае равна
Если ряд содержит четное число элементов, то варианта находится как средняя из двух вариант, находящихся в середине ряда.
В группированном ряду распределения медиана (так как она делит всю совокупность на две равные части) находится в каком-то из интервалов.
Кумулятивная (накопленная) частота (или относительная частота) равна или превышает полусумму всех частот ряда (для относительных частот она равна 1/2 или превышает 1/2).
В этом случае значение медианы вычисляется по формуле
где - нижняя граница медианного интервала;
Длина медианного интервала;
Полусумма частот;
Сумма частот, накопленная до начала медианного интервала;
Частота медианного интервала.