Стандартная статья о нечеткой логике обычно грешит двумя вещами:

1. В 99% случаев статья касается исключительно применения нечеткой логики в контексте нечетких множеств, а точнее нечеткого вывода, а еще точнее алгоритма Мамдани. Складывается впечатление, что только этим способом нечеткая логика может быть применена, однако это не так.
2. Почти всегда статья написана на математическом языке. Замечательно, но программисты пользуются другим языком с другими обозначениями. Поэтому оказывается, что статья просто непонятна тем, кому, казалось бы, должна быть полезна.

Все это грустно, потому что нечеткая логика - это одно из величайших достижений математики XX-ого века, если критерием брать практическую пользу. В этой статье я попытаюсь показать, насколько это простой и мощный инструмент программирования - настолько же простой, но гораздо более мощный, чем система обычных логических операций.

Самым замечательным фактом о нечеткой логике является то, что это прежде всего логика . Из начал мат-логики известно, что любая логическая функция может быть представлена дизъюнктивной или конъюнктивной нормальной формой, из чего следует, что для реализации исчисления высказываний достаточно всего трех операций: конъюнкции (&&), дизъюнкции (||) и отрицания (!). В классической логике каждая из этих операций задана таблицей истинности:

A b || a b && a ! -------- -------- ---- 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1
В нечеткой логике, в отличие от классической, вместо величин истина и ложь используется величина степень истинности , принимающая любые значения из бесконечного множества от 0 до 1 включительно. Следовательно логические операции уже нельзя представить таблично. В нечеткой логике они задаются фукнциями.

Есть два способа реализации дизъюнкции и конъюнкции:

#Максиминный подход: a || b => max(a, b) a && b => min(a, b) #Колорометрический подход: a || b => a + b - a * b a && b => a * b
Отрицание задается единственным способом (не трудно догадаться):

A => 1 - a
Легко проверить, что для крайних случаев - когда значения переменных исключительно 1 или 0 - приведенные выше функции дают таблицы истинности операций классической логики. Готово! Теперь у нас есть расширенная логика, обладающая невероятной мощью, простотой и при этом полностью совместимая с классической логикой в предельных случаях. Значит везде, где мы [программисты] используем логические выражения, мы можем использовать выражения нечеткой логики? Не совсем.

Дело в том, что все операторы языков программирования требуют четких условий, поэтому в какой-то момент всегда приходится из нечеткой степени истинности получать четкий критерий срабатывания. Это похоже на то, что происходит в квантовом мире: до тех пор, пока система эволюционирует в соответствии с уравнением Шредингера, ее квантовое состояние изменяется детерминированно и непрерывно, но как только мы прикасаемся к системе, происходит квантовый скачок, и система сваливается в одно из дискретных состояний. В нечеткой логике это называется дефаззификацией. Природа просто превращает квантовое состояние в вероятность и бросает кости, но вообще говоря методы дефаззификации бывают разные. Я не буду углубляться в эту тему, потому что объем ее тянет на отдельную статью. Упомяну лишь только, что метод дефаззификации следует выбирать, учитывая семантику задачи.

Для примера представим себе систему управления ракетой, использующую нечеткую логику для обхода препятствий. Представим себе, что ракета летит точно в гору, и система управления вычисляет решение: лететь вправо - 0.5, лететь влево - 0.5. Если использовать дефаззификацию методом центра масс, то система управления даст команду - лететь прямо. Бум! Очевидно, что в этом случае правильное решение - бросить кости и получить команду «влево» или «вправо» с вероятностью 50%.

В простейшем случае, когда нужно принять решение на основании степени истинности, можно разбить множество на интервалы и использовать if-else-if.

Если нечеткая логика используется для поиска по нечеткому критерию, то дефаззификация вообще может быть не нужна. Производя сравнения, мы будем получать некоторое значение степени равенства для каждого элемента пространства поиска. Мы можем определить некоторую минимальную степень равенства, значения ниже которой нас не интересуют; для оставшихся элементов степень равенства будет релевантностью, по убыванию которой мы будем сортировать результаты, и пускай пользователь решит, какой результат правильный.

В качестве примера приведу использование нечеткой логики для решения задачи, которой я развлекался еще в институте - это задача поиска китайского иероглифа по изображению.

Я сразу отбросил идею распознавать любой каракуль, нарисованный пользователем на экране (тогда это был экран КПК). Вместо этого программа предлагала выбрать тип черты из порядка 23-х, определенных правилами японской каллиграфии. Выбрав тип черты, пользователь рисовал прямоугольник, в который вписывалась черта. Фактически, иероглиф - и введенный, и хранимый в словаре - представлялся в виде множества прямоугольников, для которых был определен тип.

Как определить равенство иероглифов в таком представлении? Для начала сформулируем критерий в четкой постановке:

Иероглифы A и B равны тогда и только тогда, когда для каждой черты в A существует равная ей черта в B и для каждой черты в B существует равная ей черта в A.

Неявно предполагается, что иероглифы не содержат черт-дубликатов, то есть, если некоторая черта совпала с чертой в другом иероглифе, то ни с одной другой чертой в том же иероглифе она совпасть не может.

Равенство черт можно определить следующим образом:

Черты равны тогда и только тогда, когда относятся к одному типу и их прямоугольники занимают одну и ту же площадь.

Эти два определения дают нам систему утверждений, которой достаточно для реализации алгоритма поиска.

Для начала построим матрицу E следующим образом:

For i in 1..n for j in 1..n E = A[i] == B[j] end end #A и B - это иероглифы; A[i] и B[j] - это их черты, и оператор "==" вычисляет их нечеткое равенство. #Предполагается, что оба иероглифа имеют одинаковое количество черт - n.
Затем сомкнем эту матрицу в вектор M[n]:

For i in 1..n M[i] = E.max_in_row(i) end #Метод max_in_row вычисляет максимальное значение в строке матрицы.
Я использую максиминный подход, потому что, на практике, колорометрический дает слишком маленькие значения для конъюнкций. Если вспомнить, что max - это дизъюнкция, то получается, что мы вычисляем утверждение, что i-я черта A равна первой черте B или второй или третьей и т.д. Таким образом M - это вектор совпадений черт A с чертами B.

#Просто нечеткой конъюнкцией. e = M.min #Либо так: e = M.sum / M.length #(отношение суммы элементов к длине вектора).
Оба способа работают, но по-разному, причем второй способ работает даже если сравнивать черты четко. Какой из них правильней - вопрос философский.

Еще пару слов стоит сказать о сравнении черт. В соответствии с определением, равенство черт - это конъюнкция двух условий: равенства типов и равенства прямоугольников. Черты некоторых типов очень похожи. Вводя, пользователь легко может их перепутать, поэтому стоит иметь таблицу похожести, значения которой будут отражать насколько черта i похожа на черту j (на главной диагонали, естественно, будут единицы). Как степень равенства прямоугольников можно брать отношение площади их пересечения к площади большего из прямоугольников.

Вобщем, область применения нечеткой логики весьма обширна. В любом алгоритме, в любой системе правил попробуйте заменить истину и ложь на степень истинности и, возможно, эта система правил или алгоритм станут более точно отражать реальность. В конце концов, мы живем в мире, который фундаментально нечеток.

Классическая логика по определению не может оперировать с нечетко очерченными понятиями, поскольку все высказывания в формальных логических системах могут иметь только два взаимоисключающих состояния: «истина» со значением истинности «1» и «ложь» со значением истинности «0». Одной из попыток уйти от двузначной бинарной логики для описания неопределенности было введение Лукашевичем трехзначной логики с третьим состоянием «возможно» со значением истинности «0,5». Введя в рассмотрение нечеткие множества, Заде предложил обобщить классическую бинарную логику на основе рассмотрения бесконечного множества значений истинности. В предложенном Заде варианте нечеткой логики множество значений истинности высказываний обобщается до интервала 0 ; 1 , т.е. включает как частные случаи классическую бинарную логику и трехзначную логику Лукашевича. Такой подход позволяет рассматривать высказывания с различными значениями истинности и выполнять рассуждения с неопределенностью.

Нечеткое высказывание – это законченная мысль, об истинности или ложности которой можно судить только с некоторой степенью уверенности 0 ; 1: «возможно истинно», «возможно ложно» и т.п. Чем выше уверенность в истинности высказывания, тем ближе значение степени истинности к 1 . В предельных случаях 0 , если мы абсолютно уверены в ложности высказывания, и 1 , если мы абсолютно уверены в истинности высказывания, что соответствует классической бинарной логике. В нечеткой логике нечеткие высказывания обозначаются так же, как и нечеткие множества: A , B , C … . Введем нечеткое отображение T: Ω → 0 ; 1 , которое действует на множестве нечетких высказываний Ω = A , B , C … . В этом случае значение истинности высказывания A ∈ Ω определяется как T A ∈ 0 ; 1 и является количественной оценкой нечеткости, неопределенности, содержащейся в высказывании A .

Логическое отрицание нечеткого высказывания A обозначается ¬ A – это унарная (т.е. производимая над одним аргументом) логическая операция, результат которой является нечетким высказыванием «не A », «неверно, что A », значение истинности которого:

T ¬ A = 1 − T A .

Помимо приведенного выше исторически принятого основного определения нечеткого логического отрицания (нечеткого «НЕ»), введенного Заде, могут использоваться следующие альтернативные формулы:

T ¬ A = 1 − T A 1 + λT A , λ > − 1, – нечеткое λ -дополнение по Сугено;

T ¬ A = 1 − T A p , p > 0, – нечеткое p -дополнение по Ягеру.

Логическая конъюнкция нечетких высказываний A и B обозначается A ∩ B – это бинарная (т.е. производимая над двумя аргументами) логическая операция, результат которой является нечетким высказыванием « A и B », значение истинности которого:

T A ∩ B = min T A ; T B .

Помимо приведенного выше исторически принятого основного определения логической конъюнкции (нечеткого «И»), введенного Заде, могут использоваться следующие альтернативные формулы:

T A ∩ B = T A T B – в базисе Бандлера-Кохоута;

T A ∩ B = max T A + T B − 1 ; 0 – в базисе Лукашевича-Гилеса;

T A ∩ B = T B , при T A = 1 ; T A , при T B = 1 ; 0, в остальных случаях; – в базисе Вебера.

Логическая дизъюнкция нечетких высказываний A и B обозначается A ∪ B – это бинарная логическая операция, результат которой является нечетким высказыванием « A или B », значение истинности которого:

T A ∪ B = max T A ; T B .

Помимо приведенного выше исторически принятого основного определения логической дизъюнкции (нечеткого «ИЛИ»), введенного Заде, могут использоваться следующие альтернативные формулы:

T A ∪ B = T A + T B − T A T B – в базисе Бандлера-Кохоута;

T A ∪ B = min T A + T B ; 1 – в базисе Лукашевича-Гилеса;

T A ∪ B = T B , при T A = 0 ; T A , при T B = 0 ; 1, в остальных случаях; – в базисе Вебера.

Нечеткая импликация нечетких высказываний A и B обозначается A ⊃ B – это бинарная логическая операция, результат которой является нечетким высказыванием «из A следует B », «если A , то B », значение истинности которого:

T A ⊃ B = max min T A ; T B ; 1 − T A .

Помимо приведенного выше исторически принятого основного определения нечеткой импликации, введенного Заде, могут использоваться следующие альтернативные определения нечеткой импликации, предложенные различными исследователями в области теории нечетких множеств:

T A ⊃ B = max 1 − T A ; T B – Гедель;

T A ⊃ B = min T A ; T B – Мамдани;

T A ⊃ B = min 1 ; 1 − T A + T B – Лукашевич;

T A ⊃ B = min 1 ; T B T A , T A > 0 – Гоген;

T A ⊃ B = min T A + T B ; 1 – Лукашевич-Гилес;

T A ⊃ B = T A T B – Бандлер-Кохоут;

T A ⊃ B = max T A T B ; 1 − T A – Вади;

T A ⊃ B = 1, T A ≤ T B ; T B , T A > T B ; – Бауэр.

Общее число введенных определений нечеткой импликации не ограничивается приведенными выше. Большое количество работ по изучению различных вариантов нечеткой импликации обусловлено тем, что понятие нечеткой импликации является ключевым при нечетких выводах и принятии решений в нечетких условиях. Наибольшее применение при решении прикладных задач нечеткого управления находит нечеткая импликация Заде.

Нечеткая эквивалентность нечетких высказываний A и B обозначается A ≡ B – это бинарная логическая операция, результат которой является нечетким высказыванием « A эквивалентно B », значение истинности которого:

T A ≡ B = min max T ¬ A ; T B ;max T A ; T ¬ B .

Так же, как в классической бинарной логике, в нечеткой логике с помощью рассмотренных выше логических связок можно формировать достаточно сложные логические высказывания.

Введение в нечеткую логику

Нечеткая логика – это логическая или управляющая система n-значной логической системы, которая использует степени состояния («степени правды») входов и формирует выходы, зависящие от состояний входов и скорости изменения этих состояний. Это не обычная «истинная или ложная» (1 или 0), булева (двоичная) логика, на которой основаны современные компьютеры. Она в основном обеспечивает основы для приблизительного рассуждения с использованием неточных решений и позволяет использовать лингвистические переменные.

Нечеткая логика была разработана в 1965 году профессором Лотфи Заде в Калифорнийском университете в Беркли. Первым приложением было выполнение обработки компьютерных данных на основе естественных значений.

Если говорить проще, состояниями нечеткой логики могут быть не только 1 или 0, но и значения между ними, то есть 0.15, 0.8 и т.д. Например, в двоичной логике, мы можем сказать, что мы имеем стакан горячей воды (то есть 1 или высокий логический уровень) или стакан холодной воды, то есть (0 или низкий логический уровень), но в нечеткой логике, мы можем сказать, что мы имеем стакан теплой воды (ни горячий, ни холодный, то есть где-то между этими двумя крайними состояниями). Четкая логика: да или нет (1, 0). Нечеткая логика: конечно, да; возможно, нет; не могу сказать; возможно да и т.д.

Базовая архитектура нечеткой логической системы

Система нечеткой логики состоит из следующих модулей:

Фазифаер (Fuzzifier или оператор размытия). Он принимает измеренные переменные в качестве входных данных и преобразует числовые значения в лингвистические переменные. Он преобразует физические значения, а также сигналы ошибок в нормализованное нечеткое подмножество, которое состоит из интервала для диапазона входных значений и функций принадлежности, которые описывают вероятность состояния входных переменных. Входной сигнал в основном разделен на пять состояний, таких как: большой положительный, средний положительный, малый, средний отрицательный и большой отрицательный.

Контроллер. Он состоит из базы знаний и механизма вывода. База знаний хранит функции принадлежности и нечеткие правила, полученные путем знания работы системы в среде. Механизм вывода выполняет обработку полученных функций принадлежности и нечетких правил. Другими словами, механизм вывода формирует выходные данные на основе лингвистической информации.

Дефазифаер (Defuzzifier или оператор восстановления чёткости). Он выполняет обратный процесс фазифаера. Другими словами, он преобразует нечеткие значения в нормальные числовые или физические сигналы и отправляет их в физическую систему для управления работой системы.

Принцип работы системы нечеткой логики

Нечеткая операция предполагает использование нечетких множеств и функций принадлежности. Каждое нечеткое множество представляет собой представление лингвистической переменной, которая определяет возможное состояние вывода. Функция принадлежности является функцией общего значения в нечетком множестве, так что и общее значение, и нечеткое множество принадлежат универсальному множеству.

Степени принадлежности в этом общем значении в нечетком множестве определяют выход, основанный на принципе IF-THEN. Принадлежность назначается на основе предположения о выходе с помощью входов и скорости изменения входных данных. Функция принадлежности в основном представляет собой графическое представление нечеткого множества.

Рассмотрим такое значение «х», что x ∈ X для всего интервала и нечеткого множества A, которое является подмножеством X. Функция принадлежности «x» в подмножестве A задается как: fA (x), Обратите внимание, что «x» обозначает значение принадлежности. Ниже приводится графическое представление нечетких множеств.

В то время как ось x обозначает универсальный набор, ось y обозначает степени принадлежности. Эти функции принадлежности могут быть треугольными, трапециевидными, одноточечными или гауссовыми по форме.

Практический пример системы на основе нечеткой логики

Давайте разработаем простую систему нечеткого управления для управления работой стиральной машины, так чтобы нечеткая система контролировала процесс стирки, водозабор, время стирки и скорость отжима. Входными параметрами здесь являются объем одежды, степень загрязнения и тип грязи. В то время как объем одежды определял бы водозабор, степень загрязнения в свою очередь определялась бы прозрачностью воды, а тип грязи определялся временем, когда цвет воды остается неизменным.

Первым шагом будет определение лингвистических переменных и терминов. Для входных данных лингвистические переменные приведены ниже:

• Тип грязи: {Greasy, Medium, Not Greasy} (жирное, среднее, не жирное)
• Качество грязи: {Large, Medium, Small} (высокое, среднее, незначительное)

Для вывода лингвистические переменные приведены ниже:

• Время стирки: {Short, Very Short, Long, Medium, Very Long} (короткий, очень короткий, длинный, средний, очень длинный).

Второй шаг включает в себя построение функций принадлежности. Ниже приведены графики, определяющие функции принадлежности для двух входов. Функции принадлежности для качества грязи:

Функции принадлежности для типа грязи:

Третий шаг включает разработку набора правил для базы знаний. Ниже приведен набор правил с использованием логики IF-THEN (если-тогда):

IF качество грязи Small И Тип грязи Greasy, THEN Время стирки Long.
IF качество грязи Medium И Тип грязи Greasy, THEN Время стирки Long.
IF качество грязи Large и тип грязи Greasy, THEN Время стирки Very Long.
IF качество грязи Small И Тип грязи Medium, THEN Время стирки Medium.
IF качество грязи Medium И Тип грязи Medium, THEN Время стирки Medium.
IF качество грязи Large и тип грязи Medium, THEN Время стирки Medium.
IF качество грязи Small и тип грязи Non-Greasy, THEN Время стирки Very Short.
IF качество грязи Medium И Тип грязи Non-Greasy, THEN Время стирки Medium.
IF качество грязи Large и тип грязи Greasy, THEN Время стирки Very Short.

Фазифаер, который первоначально преобразовал входные данные датчиков в эти лингвистические переменные, теперь применяет вышеуказанные правила для выполнения операций нечеткого набора (например, MIN и MAX) для определения выходных нечетких функций. На основе выходных нечетких множеств разработана функция принадлежности. Последним шагом является этап дефазификации, в котором дефазифаер использует выходные функции принадлежности для определения времени стирки.

Области применения нечеткой логики

Системы нечеткой логики могут использоваться в автомобильных системах, таких как автоматические коробки передач. Приложения в области бытовых приборов включают в себя микроволновые печи, кондиционеры, стиральные машины, телевизоры, холодильники, пылесосы и т. д.

Преимущества нечеткой логики

• Системы нечеткой логики являются гибкими и позволяют изменять правила.
• Такие системы также принимают даже неточную, искаженную и ошибочную информацию.
• Системы нечеткой логики могут быть легко спроектированы.
• Поскольку эти системы связаны с человеческими рассуждениями и принятием решений, они полезны при формировании решений в сложных ситуациях в различных типах приложений.

сайт

Теги:

   Благодарим Вас за интерес к информационному проекту сайт.
   Если Вы хотите, чтобы интересные и полезные материалы выходили чаще, и было меньше рекламы,
   Вы можее поддержать наш проект, пожертвовав любую сумму на его развитие.

Лекция № 1

Нечеткая логика

1. Понятие нечеткой логики.
2. Операции с нечеткими множествами.
3. Лингвистическая переменная.
4. Нечеткое число.

1. 1. Понятие нечеткой логики

Нечеткая логика является многозначной логикой, что позволяет определить промежуточные значения для таких общепринятых оценок, как да|нет, истинно|ложно, черное|белое и т.п. Выражения подобные таким, как слегка тепло или довольно холодно возможно формулировать математически и обрабатывать на компьютерах. Нечеткая логика появилась в 1965 в работах Лотфи А. Задэ (Lotfi A. Zadeh ), профессора технических наук Калифорнийского университета в Беркли.

Математическая теория нечетких множеств, предложенная Л.Заде более четверти века назад, позволяет описывать нечеткие понятия и знания, оперировать этими знаниями и делать нечеткие выводы. Основанные на этой теории методы построения компьютерных нечетких систем существенно расширяют области применения компьютеров. В последнее время нечеткое управление является одной из самых активных и результативных областей исследований применения теории нечетких множеств. Нечеткое управление оказывается особенно полезным, когда технологические процессы являются слишком сложными для анализа с помощью общепринятых количественных методов, или когда доступные источники информации интерпретируются качественно, неточно или неопределенно. Экспериментально показано, что нечеткое управление дает лучшие результаты, по сравнению с получаемыми при общепринятых алгоритмах управления. Нечеткие методы помогают управлять домной и прокатным станом, автомобилем и поездом, распознавать речь и изображения, проектировать роботов, обладающих осязанием и зрением. Нечеткая логика, на которой основано нечеткое управление, ближе по духу к человеческому мышлению и естественным языкам, чем традиционные логические системы.

Нечеткая логика - раздел математики, являющийся новой мощной технологией.

Нечеткая логика возникла как наиболее удобный способ построения систем управления метрополитенами и сложными технологическими процессами, а также нашла применение в бытовой электронике, диагностических и других экспертных системах. Несмотря на то, что математический аппарат нечеткой логики впервые был разработан в США, активное развитие данного метода началось в Японии, и новая волна вновь достигла США и Европы. В Японии до сих пор продолжается бум нечеткой логики и экспоненциально увеличивается количество патентов, большая часть которых относится к простым приложениям нечеткого управления .

Термин fuzzy (англ. нечеткий, размытый - произносится "фаззи ") стал ключевым словом на рынке. Статьи по электронике без нечетких компонент постепенно исчезали и пропали совсем, как будто кто-то закрыл кран. Это показывает насколько стала популярной нечеткая логика; появилась даже туалетная бумага с напечатанными на ней словами "Fuzzy Logic".

В Японии исследования в области нечеткой логики получили широкую финансовую поддержку. В Европе и США усилия были направлены на то, чтобы сократить огромный отрыв от японцев. Так, например, агентство космических исследований NASA стало использовать нечеткую логику в маневрах стыковки.

Таким образом, нечеткая логика, в основном, обеспечивает эффективные средства отображения неопределенностей и неточностей реального мира. Наличие математических средств отражения нечеткости исходной информации позволяет построить модель, адекватную реальности.

2. Операции с нечеткими множествами

Определение и основные характеристики

нечетких множеств

Нечеткое множество (fuzzyset) представляет собой совокупность элементов произвольной природы, относительно которых нельзя точно утверждать - обладают ли эти элементы некоторым характеристическим свойством, которое используется для задания нечеткого множества.

Пусть E - универсальное множество, x - элемент E , а R - некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество A универсального множества E , элементы которого удовлетворяют свойству R , определяется как множество упорядоченных пар A = {µ A (х )/х } , где

µ A (х ) - характеристическая функция , принимающая значение 1 , если x удовлетворяет свойству R, и 0 - в противном случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов x из E нет однозначного ответа "да-нет" относительно свойства R . В связи с этим, нечеткое подмножество A универсального множества E определяется как множество упорядоченных пар A = {µ A (х )/х } , где

µ A (х ) - характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве M (например, M = ). Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента x подмножеству A . Множество M называют множеством принадлежностей . Если M = {0,1} , то нечеткое подмножество A может рассматриваться как обычное или четкое множество.

Примеры записи нечеткого множества

Пусть E = {x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 } , M = ; A - нечеткое множество, для которого

µ A (x 1)=0,3;

µ A (x 2)=0;

µ A (x 3)=1;

µ A (x 4)=0,5;

µ A (x 5)=0,9.

Тогда A можно представить в виде:

A = {0,3/x 1 ; 0/x 2 ; 1/x 3 ; 0,5/x 4 ; 0,9/x 5 } или

A = 0,3/x 1 + 0/x 2 + 1/x 3 + 0,5/x 4 + 0,9/x 5 , или

Замечание. Здесь знак "+ " не является обозначением операции сложения, а имеет смысл объединения.

Основные характеристики нечетких множеств

Пусть M = и A - нечеткое множество с элементами из универсального множества E и множеством принадлежностей M .

Величина µ A (x ) называется высотой нечеткого множества A . Нечеткое множество A нормально , если его высота равна 1 , т.е. верхняя граница его функции принадлежности равна 1 (µ A (x )=1 ). При µ A (x ) <1 нечеткое множество называется субнормальным .

Нечеткое множество пусто , если µ A (x )=0. Непустое субнормальное множество можно нормализовать по формуле A (x ) = .

Нечеткое множество унимодально , если µ A (x )=1 только на одном x из E.

Носителем нечеткого множества A является обычное подмножество со свойством µ A (x )>0 , т.е. носитель A = {x/µ A (x )>0} , x E .

Элементы x E , для которых µ A (x )=0,5 называются точками перехода множества A .

Примеры нечетких множеств

1) Пусть E = {0,1,2,..,10}, M =. Нечеткое множество "несколько" можно определить следующим образом: "несколько " = 0,5/3+0,8/4+1/5+1/6+0,8/7+0,5/8; его характеристики: высота = 1 , носитель = {3,4,5,6,7,8}, точки перехода - {3,8}.

2) Пусть E = { 0,1,2,3,...,n ,...}. Нечеткое множество "малый " можно определить:

"малый" = .

3) Пусть E = {1,2,3,...,100} и соответствует понятию "возраст ", тогда нечеткое множество "молодой ", может быть определено с помощью

4) Нечеткое множество "молодой " на универсальном множестве E" ={Иванов, Петров, Сидоров ,...} задается с помощью функции принадлежности µ "молодой " (x ) на E = {1,2,3,..100} (возраст), называемой по отношению к E" функцией совместимости, при этом:

µ "молодой" (Сидоров )= µ "молодой" (x ), где x - возраст Сидорова.

5) Пусть E = {Запорожец, Жигули, Мерседес ,....} - множество марок автомобилей, а E" = , формируя векторную функцию принадлежности { µ A (x 1 ), µ A (x 2 ),... µ A (x 9 )}.

При прямых методах используются также групповые прямые методы, когда, например, группе экспертов предъявляют конкретное лицо и каждый должен дать один из двух ответов: "этот человек лысый " или "этот человек не лысый ", тогда количество утвердительных ответов, деленное на общее число экспертов, дает значение µ "лысый" (данного лица). (В этом примере можно действовать через функцию совместимости, но тогда придется считать число волосинок на голове у каждого из предъявленных эксперту лиц).

Косвенные методы определения значений функции принадлежности используются в случаях, когда нет элементарных измеримых свойств, через которые определяется интересующее нас нечеткое множество. Как правило, это методы попарных сравнений. Если бы значения функций принадлежности были нам известны, например, µ A (x i ) = w i , i =1,2,...,n , то попарные сравнения можно представить матрицей отношений A = {a ij }, где a ij =w i /w j (операция деления).

На практике эксперт сам формирует матрицу A , при этом предполагается, что диагональные элементы равны 1, а для элементов симметричных относительно диагонали a ij = 1/a ij , т.е. если один элемент оценивается в n раз сильнее чем другой, то этот последний должен быть в 1/n раз сильнее, чем первый. В общем случае задача сводится к поиску вектора w , удовлетворяющего уравнению вида А w = λ max w , где λ max - наибольшее собственное значение матрицы A . Поскольку матрица А положительна по построению, решение данной задачи существует и является положительным.

Пример. Рассмотрим нечеткое множество A , соответствующее понятию «расход теплоносителя небольшой». Объект x - расход теплоносителя, x0; x max - множество физически возможных значений скорости изменения температуры. Эксперту предъявляются различные значения расхода теплоносителя x и задается вопрос: с какой степенью уверенности 0 ≤ μ A (x) ≤ 1 эксперт считает, что данный расход теплоносителя x небольшой. При μ A (x) = 0 - эксперт абсолютно уверен, что расход теплоносителя x небольшой. При μ A (x) = 1 - эксперт абсолютно уверен, что расход теплоносителя x нельзя классифицировать как небольшой.

Операции над нечеткими множествами

Включение .

Пусть A и B - нечеткие множества на универсальном множестве E.

Говорят, что A содержится в B , если .

Обозначение : .

Иногда используют термин "доминирование ", т.е. в случае когда A Ì B , говорят, что B доминирует A .

Равенство .

A и B равны, если " x Î E m A (x ) = m B (x ).

Обозначение : A = B .

Дополнение.

Пусть М = , A и B - нечеткие множества, заданные на E . A и B дополняют друг друга, если

" x Î E m A (x ) = 1 - m B (x ).

Обозначение : или.

Очевидно, что. (Дополнение определено для M = , но очевидно, что его можно определить для любого упорядоченного M ).

Пересечение .

A ÇB - наибольшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в A и B .

m A Ç B(x ) = min(m A (x ), m B (x )).

Объединение.

А È В - наименьшее нечеткое подмножество, включающее как А , так и В , с функцией принадлежности:

m A È B(x ) = max(m A (x ), m B (x )).

Разность.

А - B = А Ç с функцией принадлежности:

m A-B (x ) = m A Ç (x ) = min(m A (x ), 1 - m B (x )).

Дизъюнктивная сумма.

А Å B = (А - B) È (B - А) = (А Ç ) È (Ç B) с функцией принадлежности:

m A-B (x ) = max{; }

Примеры.

A = 0,4/ x 1 + 0,2/ x 2 +0/ x 3 +1/ x 4 ;

B = 0,7/ x 1 +0,9/ x 2 +0,1/ x 3 +1/ x 4 ;

C = 0,1/ x 1 +1/ x 2 +0,2/ x 3 +0,9/ x 4 .

A Ì B , т.е. A содержится в B или B доминирует A , С несравнимо ни с A , ни с B , т.е. пары {A, С } и {A, С } - пары недоминируемых нечетких множеств.

0,6/ x 1 + 0,8/x 2 + 1/x 3 + 0/x 4 ;

0,3/x 1 + 0,1/x 2 + 0,9/x 3 + 0/x 4 .

A Ç B = 0,4/x 1 + 0,2/x 2 + 0/x 3 + 1/x 4 .

А È В = 0,7/x 1 + 0,9/x 2 + 0,1/x 3 + 1/x 4 .

А - В = А Ç = 0,3/x 1 + 0,1/x 2 + 0/x 3 + 0/x 4 ;

В - А =Ç В = 0,6/x 1 + 0,8/x 2 + 0,1/x 3 + 0/x 4 .

А Å В = 0,6/x 1 + 0,8/x 2 + 0,1/x 3 + 0/x 4 .

Наглядное представление операций над нечеткими множествами

Для нечетких множеств можно строить визуальное представление. Рассмотрим прямоугольную систему координат, на оси ординат которой откладываются значения m A (x ) , на оси абсцисс в произвольном порядке расположены элементы E (мы уже использовали такое представление в примерах нечетких множеств). Если E по своей природе упорядочено, то этот порядок желательно сохранить в расположении элементов на оси абсцисс. Такое представление делает наглядными простые операции над нечеткими множествами.

На верхней части рисунка заштрихованная часть соответствует нечеткому множеству A и, если говорить точно, изображает область значений А и всех нечетких множеств, содержащихся в A . На нижней - даны, A Ç , A È .

Свойства операций È и Ç.

Пусть А, В, С - нечеткие множества, тогда выполняются следующие свойства:

Коммутативность;

Ассоциативность;

Идемпотентность;

Дистрибутивность;

A ÈÆ = A , где Æ - пустое множество , т.е. mÆ (x) = 0 " >x Î E ;

A Ç E = A , где E - универсальное множество;

Теоремы де Моргана.

В отличие от четких множеств, для нечетких множеств в общем случае:

Замечание. Введенные выше операции над нечеткими множествами основаны на использовании операций max и min . В теории нечетких множеств разрабатываются вопросы построения обобщенных, параметризованных операторов пересечения, объединения и дополнения, позволяющих учесть разнообразные смысловые оттенки соответствующих им связок "и ", "или ", "не ".

Расстояние между нечеткими множествами

Пусть A и B - нечеткие подмножества универсального множества E . Введем понятие расстояния r(A , B ) между нечеткими множествами. При введении расстояния обычно предъявляются следующие требования:

r(A, B ) ³ 0 - неотрицательность;

r(A, B ) = r(B, A ) - симметричность;

r(A, B ) < r(A, C ) + r(C, B ).

К этим трем требованиям можно добавить четвертое: r(A, A ) = 0.

Евклидово или квадратичное расстояние:

e(A, B ) = , e(A, B )Î.

Перейдем к индексам нечеткости или показателям размытости нечетких множеств.

Если объект х обладает свойством R (порождающим нечеткое множество A ) лишь в частной мере, т.е.

0< m A (x ) <1, то внутренняя неопределенность, двусмысленность объекта х в отношении R проявляется в том, что он, хотя и в разной степени, принадлежит сразу двум противоположным классам: классу объектов, "обладающих свойством R ", и классу объектов, "не обладающих свойством R ". Эта двусмысленность максимальна, когда степени принадлежности объекта обеим классам равны, т.е. m A (x ) = (x ) = 0,5, и минимальна, когда объект принадлежит только одному классу, т.е. либо m A (x ) = 1 и (x ) = 0, либо m A (x ) = 0 и (x ) = 1.

3. Лингвистическая переменная

В нечеткой логике значения любой величины представляются не числами, а словами естественного языка и называются ТЕРМАМИ. Так, значением лингвистической переменной ДИСТАНЦИЯ являются термы ДАЛЕКО, БЛИЗКО и т. д.

Конечно, для реализации лингвистической переменной необходимо определить точные физические значения ее термов. Пусть, например, переменная ДИСТАНЦИЯ может принимать любое значение из диапазона от 0 до 60 метров. Как же нам поступить? Согласно положениям теории нечетких множеств, каждому значению расстояния из диапазона в 60 метров может быть поставлено в соответствие некоторое число, от нуля до единицы, которое определяет СТЕПЕНЬ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ данного физического значения расстояния (допустим, 10 метров) к тому или иному терму лингвистической переменной ДИСТАНЦИЯ. В нашем случае расстоянию в 50 метров можно задать степень принадлежности к терму ДАЛЕКО, равную 0,85, а к терму БЛИЗКО - 0,15. Конкретное определение степени принадлежности возможно только при работе с экспертами. При обсуждении вопроса о термах лингвистической переменной интересно прикинуть, сколько всего термов в переменной необходимо для достаточно точного представления физической величины. В настоящее время сложилось мнение, что для большинства приложений достаточно 3-7 термов на каждую переменную. Минимальное значение числа термов вполне оправданно. Такое определение содержит два экстремальных значения (минимальное и максимальное) и среднее. Для большинства применений этого вполне достаточно. Что касается максимального количества термов, то оно не ограничено и зависит целиком от приложения и требуемой точности описания системы. Число же 7 обусловлено емкостью кратковременной памяти человека, в которой, по современным представлениям, может храниться до семи единиц информации.

Понятие нечеткой и лингвистической переменных используется при описании объектов и явлений с помощью нечетких множеств.

Нечеткая переменная характеризуется тройкой <α, X, A>, где

α - наименование переменной,

X - универсальное множество (область определения α),

A - нечеткое множество на X, описывающее ограничения (т.е. μ A (x )) на значения нечеткой переменной α.

Лингвистической переменной называется набор <β ,T,X,G,M>, где

β - наименование лингвистической переменной;

Т - множество ее значений (терм-множество), представляющих собой наименования нечетких переменных, областью определения каждой из которых является множество X.

Множество T называется базовым терм-множеством лингвистической переменной;

G - синтаксическая процедура, позволяющая оперировать элементами терм-множества T, в частности, генерировать новые термы (значения). Множество TÈ G(T), где G(T) - множество сгенерированных термов, называется расширенным терм-множеством лингвистической переменной;

М - семантическая процедура, позволяющая превратить каждое новое значение лингвистической переменной, образуемое процедурой G, в нечеткую переменную, т.е. сформировать соответствующее нечеткое множество.

Замечание. Чтобы избежать большого количества символов

символ β используют как для названия самой переменной, так и для всех ее значений;

пользуются одним и тем же символом для обозначения нечеткого множества и его названия, например терм "молодой ", являющийся значением лингвистической переменной β = "возраст ", одновременно есть и нечеткое множество М ("молодой ").

Присвоение нескольких значений символам предполагает, что контекст позволяет разрешить возможные неопределенности.

Пример: Пусть эксперт определяет толщину выпускаемого изделия с помощью понятий "малая толщина ", "средняя толщина " и "большая толщина ", при этом минимальная толщина равна 10 мм, а максимальная - 80 мм.

Формализация такого описания может быть проведена с помощью следующей лингвистической переменной < β, T, X, G, M>, где

β - толщина изделия;

T - {"малая толщина ", "средняя толщина ", "большая толщина "};

G - процедура образования новых термов с помощью связок "и ", "или " и модификаторов типа "очень ", "не ", "слегка " и др. Например: "малая или средняя толщина ", "очень малая толщина " и др.;

М - процедура задания на X = нечетких подмножеств А 1 ="малая толщина ", А 2 = "средняя толщина ", А 3 ="большая толщина ", а также нечетких множеств для термов из G(T) в соответствии с правилами трансляции нечетких связок и модификаторов "и ", "или ", "не ", "очень ", "слегка " и др. операции над нечеткими множествами вида: А Ç В, АÈ В, CON А = А 2 , DIL А = А 0,5 и др.

Замечание. Наряду с рассмотренными выше базовыми значениями лингвистической переменной "толщина " (Т={"малая толщина ", "средняя толщина ", "большая толщина "}) возможны значения, зависящие от области определения Х. В данном случае значения лингвистической переменной "толщина изделия" могут быть определены как "около 20 мм ", "около 50 мм ", "около 70 мм ", т.е. в виде нечетких чисел .

Продолжение примера:

Функции принадлежности нечетких множеств:

"малая толщина" = А 1 , "средняя толщина "= А 2 , " большая толщина "= А 3 .

Функция принадлежности:

нечеткое множество "малая или средняя толщина " = А 1 ?А 1 .

4. Нечеткое число

Нечеткие числа - нечеткие переменные, определенные на числовой оси, т.е. нечеткое число определяется как нечеткое множество А на множестве действительных чисел R с функцией принадлежности m A (x )Î, где x - действительное число, т.е. x Î R.

Нечеткое число А нормально , если μ A (x )=1, выпуклое , если для любых x≤y≤z выполняется μ A (x )≥ μ A (y )∩ μ A (z ).

Подмножество S A ÌR называется носителем нечеткого числа А, если

S = {x /μ A (x )>0}.

Нечеткое число А унимодально , если условие m A (x ) = 1 справедливо только для одной точки действительной оси.

Выпуклое нечеткое число А называется нечетким нулем , если

m A (0) = (m A (x )).

Нечеткое число А положительно , если "x Î S A , x >0 и отрицательно , если "x Î S A , x <0.

Операции над нечеткими числами

Расширенные бинарные арифметические операции (сложение, умножение и пр.) для нечетких чисел определяются через соответствующие операции для четких чисел с использованием принципа обобщения следующим образом.

Пусть А и В - нечеткие числа, и - нечеткая операция, соответствующая операции над обычными числами. Тогда

С = АB Ûm C (z )=(m A (x )Lm B (y ))).

С = Ûm C (z )=(m A (x )Lm B (y ))),

С = Û m C (z )=(m A (x )Lm B (y ))),

С = Û m C (z )=(m A (x )L m B (y ))),

С = Û m C (z )=(m A (x )Lm B (y ))),

С = Û m C (z )=(m A (x )Lm B (y ))),

С = Û m C (z )=(m A (x )Lm B (y ))).

Замечание. Решение задач математического моделирования сложных систем с применением аппарата нечетких множеств требует выполнения большого объема операций над разного рода лингвистическими и другими нечеткими переменными. Для удобства исполнения операций, а также для ввода-вывода и хранения данных, желательно работать с функциями принадлежности стандартного вида.

Нечеткие множества, которыми приходится оперировать в большинстве задач, являются, как правило, унимодальными и нормальными. Одним из возможных методов аппроксимации унимодальных нечетких множеств является аппроксимация с помощью функций (L-R)-типа.

Список литературы

1. Орлов А.И. Теория принятия решений. Учебное пособие / А.И.Орлов.- М.: Издательство «Экзамен», 2005. - 656 с.

2. Борисов А. Н., Кроумберг О. А., Федоров И. П. Принятие решений на основе нечетких моделей: примеры использования. - Рига: Зинатве, 1990. - 184 с.

3. Андрейчиков А.В., Андрейчикова О.Н. Анализ, синтез, планирование решений в экономике — М.: Финансы и статистика, 2000. — 368 с.

4. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта/Под ред. Д. А. Поспелова. — М.: Наука, 1986. — 312 с.

5. Боросов А.Н. Принятие решений на основе нечетких моделей: Примеры использования. Рига: Зинанте, 1990.

6. Вопросы анализа и процедуры принятия решений/Под ред. И.Ф. Шахнова. М.: Мир, 1976.

7. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств/Пер, с франц. М,: Радио и связь, 1982.

9. Лебег А. Об измерении величин. - М.: Учпедгиз, 1960. - 204 с.

10. Орлов А.И. Основания теории нечетких множеств (обобщение аппарата Заде). Случайные толерантности. - В сб.: Алгоритмы многомерного статистического анализа и их применения. - М.: Изд-во ЦЭМИ АН СССР, 1975. - С.169-175.

Математическая теория нечетких множеств (fuzzy sets) инечеткая логика (fuzzy logic ) являются обобщениями классическойтеории множеств и классической формальной логики. Данные понятия были впервые предложены американским ученым Лотфи Заде (Lotfi Zadeh) в 1965 г. Основной причиной появления новой теории стало наличие нечетких иприближенных рассуждений при описании человеком процессов, систем, объектов.

Одной из основных характеристик нечеткой логики является лингвисти­ческая переменная, которая определяется набором вербальных (словесных) характеристик некоторого свойства. Рассмотрим лингвисти­ческую переменную «скорость», которую можно характеризовать через набор следующих по­нятий-значе­ний: «ма­лая», «средняя» и «большая», данные значения называются термами.

Следующей основополагающей характеристикой нечеткой логики является понятие функции принадлежности. Функция принадлежности определяет, насколько мы уверены в том, что данное значение лингвистической переменной (например, скорость) можно отнести к соответствующим ей категори­ям (в частности для лингвистической переменной скорость к категориям «малая», «средняя», «большая»).

На следующем рисунке (первая часть) отражено, как одни и те же значения лингвистической переменной могут соответствовать различным понятиям-значениям или термам. Тогда функции принадлежности, характеризующие нечеткие множества понятий скорости, можно выразить гра­фически, в более привычном математическом виде (рис. 35, вторая часть).

Из рисунка видно, что степень, с которой численное значение скорости, например v = 53, совместимо с понятием «большая», есть 0,7, в то время как совместимость значений скорости, рав­ных 48 и 45, с тем же понятием есть 0,5 и 0,1 соответственно.

Существует свыше десятка типовых форм кривых для задания функций принадлежности. Наибольшее распространение получили: треугольная, трапецеидальная и гауссова функции принадлежности.

Треугольная функция принадлежности определяется тройкой чисел (a,b,c), и ее значение в точке x вычисляется согласно выражению:

При (b-a)=(c-b) имеем случай симметричной треугольной функции принадлежности, которая может быть однозначно задана двумя параметрами из тройки (a,b,c).

Аналогично для задания трапецеидальной функции принадлежности необходима четверка чисел (a,b,c,d):

При (b-a)=(d-c) трапецеидальная функция принадлежности принимает симметричный вид.

Рисунок 1. Типовые кусочно-линейные функции принадлежности.

Функция принадлежности гауссова типа описывается формулой

и оперирует двумя параметрами. Параметр c обозначает центр нечеткого множества, а параметр отвечает за крутизну функции.

Рисунок 2. Гауссова функция принадлежности.

Совокупность функций принадлежности для каждого терма из базового терм-множества T обычно изображаются вместе на одном графике. На рисунке приведен пример описанной лингвистической переменной "Цена акции".

Рис. Описание лингвистической переменной "Цена акции".

Количество термов в лингвистической переменной редко превышает 7.

Основой для проведения операции нечеткого логического вывода является база правил, содержащая нечеткие высказывания в форме "Если-то" и функции принадлежности для соответствующих лингвистических термов. При этом должны соблюдаться следующие условия:

Существует хотя бы одно правило для каждого лингвистического терма выходной переменной .

Для любого терма входной переменной имеется хотя бы одно правило, в котором этот терм используется в качестве предпосылки (левая часть правила).

В противном случае имеет место неполная база нечетких правил.

Пусть в базе правил имеется m правил вида: R 1: ЕСЛИ x 1 это A 11 … И … x n это A 1n , ТО y это B 1 … R i: ЕСЛИ x 1 это A i1 … И … x n это A in , ТО y это B i … R m: ЕСЛИ x 1 это A i1 … И … x n это A mn , ТО y это B m , где x k , k=1..n – входные переменные; y – выходная переменная; A ik – термы соответствующих переменных с функциями принадлежности.

Результатом нечеткого вывода является четкое значение переменной y * на основе заданных четких значений x k , k=1..n.

В общем случае механизм логического вывода включает четыре этапа: введение нечеткости (фазификация), нечеткий вывод, композиция и приведение к четкости, или дефазификация (см. рисунок 5).

Рисунок 5. Система нечеткого логического вывода.

Алгоритмы нечеткого вывода различаются главным образом видом используемых правил, логических операций и разновидностью метода дефазификации. Разработаны модели нечеткого вывода Мамдани, Сугено, Ларсена, Цукамото.

Рассмотрим подробнее нечеткий вывод на примере механизма Мамдани (Mamdani). Это наиболее распространенный способ логического вывода в нечетких системах. В нем используется минимаксная композиция нечетких множеств. Данный механизм включает в себя следующую последовательность действий.

Процедура фазификации: определяются степени истинности, т.е. значения функций принадлежности для левых частей каждого правила (предпосылок). Для базы правил с m правилами обозначим степени истинности как A ik (x k), i=1..m, k=1..n.

Нечеткий вывод. Сначала определяются уровни "отсечения" для левой части каждого из правил:

Композиция, или объединение полученных усеченных функций, для чего используется максимальная композиция нечетких множеств:

где MF(y) – функция принадлежности итогового нечеткого множества.

4. Дефазификация, или приведение к четкости. Под дефаззификацией понимается процедура преобразования нечетких величин, получаемых в результате нечеткого вывода, в четкие. Эта процедура является необходимой в тех случаях, где требуется интерпретация нечетких выводов конкретными четкими величинами, т.е. когда на основе функции принадлежности возникает потребность определить для каждой точки вZ числовые значения.

В настоящее время отсутствует систематическая процедура выбора стратегии дефаззификации. На практике часто используют два наиболее общих метода: метод центра тяжести (ЦТ - центроидный), метод максимума (ММ).

Для дискретных пространств в центроидном методе формула для вычисления четкого значения выходной переменной представляется в следующем виде:

Стратегия дефаззификации ММ предусматривает подсчет всех тех z , чьи функции принадлежности достигли максимального значения. В этом случае (для дискретного варианта) получим

где z - выходная переменная, для которой функция принадлежности достигла максимума;m - число таких величин.

Из этих двух наиболее часто используемых стратегий дефаззификации, стратегия ММ дает лучшие результаты для переходного режима, аЦТ - в установившемся режиме из-за меньшей среднеквадратической ошибки.

Пример нечеткого правила

Как работает.

По максимальному значению функций принадлежности (для скорости 60 км в час значение функции принадлежности «низкая» = 0, а для дорожных условий 75 % от нормы значение функции принадлежности «тяжелые» = около 0.7) по 0.7 проводится прямая которая рассекает геометрическую фигуру заключения (подача топлива) на две части, в результате берется фигура лежащая ниже прямой а верхняя часть отбрасывается. Это для одного правила, таких правил может быть 100 и более в реальных задачах.

Рассмотрим процесс получения нечеткого вывода по трем правилам одновременно с последующим получением чет­кого решения. Данная процедура включает в себя три этапа. На первом этапе получают нечеткие выводы по каждому из правил в отдельности по схеме, показанной на рис. 3.13. На втором эта­пе производится сложение результирующих функций, получен­ных на предыдущем этапе (применяется логическая операция ИЛИ, т.е. берется максимум). Третий этап - этап получения чет­кого решения (дефаззификация). Здесь применяется любой из известных классических методов: метод центра тяжести и т.д. Полученное в виде числового значения четкое решение служит задающей величиной системы управления. В нашем примере это будет величина, в соответствии с которой ИСУ должна бу­дет изменить подачу топлива. Процесс получения нечетких выводов по нескольким прави­лам с последующей дефаззификацией для рассматриваемого примера показан на рис. 3.14. При начальном значении скорости = 65 км в час, и дорожным условиям = 80 % от норматива получаем следующую схему решения об уровне подачи топлива.

Рис. 3.14. Процесс получения нечетких выводов по правилам и их преобразование в четкое решение.

Как видно из рис. 3.14, в результате дефаззификации получе­но четкое решение: при заданных значениях скорости и дорожных условий подача топлива должна составлять 63% от

максимального значения. Таким образом, несмотря на нечет­кость выводов, в итоге получено вполне четкое и определенное решение. Такое решение, вероятно, принял бы и водитель авто­мобиля в процессе движения. Данный пример демонстрирует великолепные возможности моделирования человеческих рас­суждений на основе методов теории нечетких множеств.