Системы счисления

Двоичная система счисления

8-ая система счисления

16-ая система счисления

Кодирование чисел 15

Кодирование целых чисел 16

Умножение и деление 21

Преимущества и недостатки 25

Двоичная система счисления

В двоичной (binary ) системе счисления всего две цифры, называемые двоичными (binary digits). Сокращение этого наименования привело к появлению термина бит , ставшего названием разряда двоичного числа. Веса разрядов в двоичной системе изменяются по степеням двойки. Поскольку вес каждого разряда умножается либо на 0, либо на 1, то в результате значение числа определяется как сумма соответствующих значений степеней двойки. Если какой-либо разряд двоичного числа равен 1, то он называется значащим разрядом. Запись числа в двоичном виде намного длиннее записи в десятичной системе счисления.

Арифметические действия, выполняемые в двоичной системе, подчиняются тем же правилам, что и в десятичной системе. Только в двоичной системе перенос единиц в старший разряд возникает чаще, чем в десятичной. Вот как выглядит таблица сложения в двоичной системе:

0 + 0 = 0 0 + 1 = 1

1 + 0 = 1 1 + 1 = 10 (перенос в старший разряд)

Таблица умножения для двоичных чисел еще проще:

0 * 0 = 0 0 * 1 = 0 1 * 0 = 0 1 * 1 = 1

Пример выполнения операции сложения в двоичной системе счисления:

1 1 1

1 0 1 1 2 Красным цветом показан перенос из младших разрядов в

1 1 0 2 старшие

1 0 0 0 1 2

Для проверки правильности выполнения операции переведем все три числа из двоичной системы в 10-ую:

1011 = 1*2 3 + 1*2 1 + 1 = 8 + 2 + 1 = 11 10

3 2 1 0

110 = 1*2 2 + 1*2 1 = 4 + 2 = 6 10

2 1 0

10001 = 1*2 4 + 1 = 16 + 1 = 17 10

4 3 2 1 0

Сумма первых двух чисел (11 и 6) равна третьему числу (17), следовательно операция выполнена верно.

Обратите внимание на то, что при добавлении к числу, состоящему из единиц (11…1), еще одной единицы, получается число, равное 1 с количеством нулей, равным количеству единиц исходного числа, например:

1111 1111 2 + 1 = 1 0000 0000 2 = 2 8

Пример выполнения операции вычитания в двоичной системе счисления:

Вычитание выполняется по тем же правилам, что и в 10-ой системе, но в 10-й системе при заеме единицы старшего разряда она превращается в 10 единиц младшего разряда, а в 2-й системе – в 2 единицы. Если нужно произвести заем не в соседнем разряде, а далее влево, то из каждых двух единиц текущего разряда одна остается в этом разряде, а вторая передается вправо. Сравните :

9 9 10 1 1 2

1 0 0 0 10 1 0 0 0 2

1 - 1

9 9 9 10 1 1 1 2

Выполним в 2-й системе счисление вычитание 17 10 – 6 10 :

0 1 1 2

1 0 0 0 1 2

1 1 0 2

1 0 1 1 2 = 11 10 Проверка показывает, что вычитание выполнено верно.

Если в двоичной системе счисления из числа, являющегося степенью двойки, вычесть 1, то получается число, состоящее из единиц, количество которых равно количеству нулей двоичного числа, например:

2 8 - 1 = 1 0000 0000 2 – 1 = 1111 1111 2

1023 = 1024 – 1 = 2 10 – 1 = 11 1111 1111 2

Пример выполнения операции умножения в двоичной системе счисления:

1 1 0 1 2 = 13 10

* 1 0 1 2 = 5 10

1 1 0 1

1 1 0 1

1 0 0 0 0 0 1 2 = 2 6 +1 = 64 +1 =65 10 (13 * 5 = 65)

6 5 4 3 2 1 0

Рассмотрим подробнее, как процессор выполняет умножение двоичных чисел. Пусть надо умножить число 1101 на 101 (оба числа в двоичной системе счисления). Машина делает это следующим образом: она берет число 1101 и, если первый справа элемент второго множителя равен 1, то она заносит его в сумму. Затем сдвигает число 1101 влево на одну позицию, получая тем самым 11010, и, если, второй элемент второго множителя равен единице, то добавляет его к сумме. Если элемент второго множителя равен нулю, то сумма не изменяется. Этот процесс сдвигов и сложений повторяется.

Пример выполнения операции деления в двоичной системе счисления:

Двоичное деление основано на методе, знакомом вам по десятичному делению, т. е. сводится к выполнению операций умножения и вычитания. Выполнение основной процедуры - выбор числа, кратного делителю и предназначенного для уменьшения делимого, здесь проще, так как таким числом могут быть только либо 0, либо сам делитель.

В качестве примера разделим 143 10 = 10001111 2 на 13 10 = 1101 2

1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1

1 1 0 1 1 0 1 1 2 = 11 10

1 0 0 1 1

1 1 0 1

1 1 0 1

1 1 0 1

Проверка показывает, что деление выполнено верно (143 / 13 = 11).

Умножение или деление двоичного числа на 2 приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной на один разряд соответственно вправо или влево:

1011 2 * 10 2 = 10110 2.

1011 2 / 10 2 = 101.1 2.

8-ая система счисления

При наладке аппаратных средств ЭВМ или создании новой программы возникает необходимость "заглянуть внутрь" памяти машины, чтобы оценить ее текущее состояние. Но там все заполнено длинными последовательностями нулей и единиц двоичных чисел. Эти последовательности очень неудобны для восприятия человеком, привыкшим к более короткой записи десятичных чисел. Кроме того, естественные возможности человеческого мышления не позволяют оценить быстро и точно величину числа, представленного, например, комбинацией из 16 нулей и единиц.

Для облегчения восприятия двоичного числа решили разбивать его на группы разрядов, например, по три или четыре разряда. Эта идея оказалась очень удачной, так как последовательность из трех бит имеет 8 комбинаций, а последовательность из 4 бит - 16. Числа 8 и 16 являются степенями двойки, поэтому легко находить соответствие с двоичными числами. Развивая эту идею, пришли к выводу, что группы разрядов можно закодировать, сократив при этом длину последовательности знаков. Для кодировки трех битов требуется восемь цифр, поэтому взяли цифры от 0 до 7 десятичной системы. Для кодировки же четырех битов необходимо шестнадцать знаков; для этого взяли 10 цифр десятичной системы и 6 букв латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Полученные системы, имеющие основания 8 и 16, назвали соответственно восьмеричной и шестнадцатеричной.

В восьмеричной (octal) системе счисления используются восемь различных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Основание системы - 8. При записи отрицательных чисел перед последовательностью цифр ставят знак минус. Сложение, вычитание, умножение и деление чисел, представленных в восьмеричной системе, выполняются весьма просто, подобно тому, как это делают в общеизвестной десятичной системе счисления.

Пример выполнения операции сложения в восьмеричной системе счисления:

1 1 Красным цветом показан перенос из младших разрядов в старшие.

4 7 6

3 4 1) 6 + 4 = 10 = 1*8 + 2 = 12 8

5 3 2 2) 1 + 7 + 3 = 1*8 + 3 = 13 8

3) 1 + 4 = 5

Проверим результат путем перевода чисел в десятичную систему счисления:

476 8 = 4*8 2 + 7*8 + 6 = 318 318

34 8 = 3*8 + 4 = 28 + 28

532 = 5*8 2 + 3*8 + 2 = 346 346

Пример выполнения операции вычитания в восьмеричной системе счисления:

7 8 Красным цветом показан перенос из старших разрядов в младшие .

5 3 2 Выполнение операции в каждом разряде:

3 4 1) 8 + 2 – 4 = 6

4 7 6 2) 7 + 2 - 3 = 1 *8 + 3 = 13 8

3) 1 + 4 = 5

Пример выполнения операции умножения в восьмеричной системе счисления:

5 4 54 4*4 = 16 = 2 *8 + 0 = 20 8 (записываем 0)

* 3 4 * 4 2+ 5*4 = 22 = 2 *8 + 6 = 26 8

2 6 0 260

2 0 4

2 3 2 0 54 4*3 = 12 = 1 *8 + 4 = 14 8 (записываем 4)

* 3 1 + 5*3 = 16 = 2 *8 + 0 = 20 8

Выполним проверку :

54 8 = 5*8 + 4 = 44 10 44

34 8 = 3*8 + 4 = 28 10 * 28

2320 8 = 2*8 3 + 3*8 2 + 2*8 = 1232 10 352

88 = 1232 10

Пример выполнения операции деления в восьмеричной системе счисления:

2 3 2 0 8 5 4 8

2 0 4 3 4 8

2 6 0

2 6 0

Деление в восьмеричной системе близко делению в десятичной системе: нужно подобрать цифры частного. 232 делим на 54, в десятичной системе мы получили бы целое частное 4, но из предидущего примера мы знаем, что в восьмеричной системе 54*4 = 260, это много, попробуем взять цифру поменьше – 3, умножаем 54*3 = 204, эта цифра подходит, и т.д.

В различных языках программирования запись восьмеричных чисел начинается с 0, например, запись 011 означает десятичное число 9.

16-ая система счисления

В шестнадцатеричной (hexadecimal) системе счисления применяются десять цифр от 0 до 9 и шесть первых букв латинского алфавита:

10 – A 11 – B 12 – C 13 – D 14 – E 15 – F .

При записи отрицательных чисел слева от последовательности цифр ставят знак минус.

Для того чтобы при написании компьютерных программ отличить числа, записанные в шестнадцатеричной системе, от других, перед числом ставят 0x. То есть 0x11 и 11 - это разные числа.

Шестнадцатеричная система счисления широко используется при задании различных оттенков цвета при кодировании графической информации (модель RGB). Так, в редакторе гипертекста Netscape Composer можно задавать цвета для фона или текста как в десятичной, так и шестнадцатеричной системах счисления (см. рисунок).

Пример выполнения операции сложения в 16-ой системе счисления:

1 1 Красным цветом показан перенос из младших разрядов

A 7 B 16 Выполнение операции в каждом разряде:

C 8 16 B + 8 = 11 + 8 = 19 = 1*16 + 3 = 13 16 (записываем 3)

B 4 3 16 1 +7+С = 8+12 = 20 = 1*16 + 4 = 14 16 (записываем 4)

1 + A = B

Проверим резульат путем перевода чисел в 10-ю систему:

A7B 16 = 10*16 2 + 7*16 +11 = 2683

2 1 0 2683

C8 16 = 12*16 + 8 = 200 + 200

1 0 2883

B 43 16 = 11*16 2 + 4*16 +3 = 2883

2 1 0

Пример выполнения операции вычитания в 16-ой системе счисления:

15 16 Красным цветом показан заем из старших разрядов

B 4 3 16 Выполнение операции в каждом разряде:

A 7 B 16 16 + 3 – B = 19 -11 = 8

C 8 16 15 + 4 – 7 = 12 = C

B - 1 – A = 0

Умножение и деление в 16-ой системе обычно не выполняется ввиду сложности вычислений.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Перевод числа из системы счисления с основанием q в 10-ю систему счисления выполняется путем вычисления значения многочлена по степеням q , коэффициенты которого равны цифрам числа.

Рассмотрим различные способы перевода чисел из одной системы счисления в другую на конкретных примерах.

Перевод из 2-ой системы в 10-ую

1 0 1 1 . 1 0 1 2 = 1*2 3 + 0*2 2 + 1*2 + 1*2 0 + 1*2 -1 + 0* 2 -2 + 1*2 -3 =

3 2 1 0 -1 -2 -3

8 + 2 + 1 + 0.5 + 0.125 = 11.625

Для того, чтобы быстро переводить числа из двоичной системы счисления в 10-ую, необходимо запомнить степени двойки: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 и т.д. Отрицательные степени двойки: .5, .25, .125, .0625, .03125 и т.д.

Перевод из 8-ой системы в 10-ую

6 3 2.4 5 8 = 6*8 2 + 3*8 + 2 + 4* 8 -1 + 5*8 -2 = 6*64 + 24 + 2 +4 /8 + 5/64 =

2 1 0 -1 -2

410.578125

Перевод из 16-ой системы в 10-ую

E 7 F.8 16 = 14*16 2 + 7*16 + 15 + 8/16 = 14*256 + 7*16 + 15 + .5 = 3711.5

2 1 0 -1

Перевод из 10-ой системы в 2-ую

Перевод из 10-ой системы целой и дробной частей выполняется по различным алгоритмам, поэтому будем рассматривать их отдельно.

Перевод целой части

Пусть требуется перевести число 567 из десятичной в двоичную систему. Сначала определим максимальную степень двойки, такую, чтобы два в этой степени было меньше или равно исходному числу. В нашем случае это 9, т. к. 2 9 =512, а 2 10 =1024, что больше начального числа. Таким образом, мы получим число разрядов результата. Оно равно 9+1=10. Поэтому результат будет иметь вид 1ххххххххх, где вместо х могут стоять любые двоичные цифры. Найдем вторую цифру результата. Возведем двойку в степень 9 и вычтем из исходного числа: 567-2 9 =55. Остаток сравним с числом 2 8 =256. Так как 55 меньше 256, то девятый разряд будет нулем, т. е. результат примет вид 10хххххххх. Рассмотрим восьмой разряд. Так как 2 7 =128>55, то и он будет нулевым.

Седьмой разряд также оказывается нулевым. Искомая двоичная запись числа принимает вид 1000хххххх. 2 5 =32<55, поэтому шестой разряд равен 1 (результат 10001ххххх). Для остатка 55-32=23 справедливо неравенство 2 4 = 16 < 23, что означает равенство единице пятого разряда. Действуя аналогично, получаем в результате число 1000110111. Мы разложили данное число по степеням двойки:

567=1*2 9 + 0*2 8 + 0*2 7 + 0*2 6 + 1*2 5 + 1*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0

При другом способ e перевода чисел используется операция деления в столбик. Рассмотрим то же самое число 567. Разделив его на 2, получим частное 283 и остаток 1. Проведем ту же самую операцию с числом 283. Получим частное 141, остаток 1. Опять делим полученное частное на 2, и так до тех пор, пока частное не станет меньше делителя. Теперь для того, чтобы получить число в двоичной системе счисления, достаточно записать последнее частное, то есть 1, и приписать к нему в обратном порядке все полученные в процессе деления остатки.

Результат, естественно, не изменился: 567 в двоичной системе счисления записывается как 1000110111.

Поскольку делить на 2 несложно, этот процесс можно записать более компактно:

Частное | Остаток

567 | 1 567 = 1000110111 2

283 | 1

141 | 1

70 | 0

35 | 1

17 | 1

8 | 0

4 | 0

2 | 0

1 | 1

Перевод дробной части

Алгоритм перевода дробной части :

1. последовательно умножать дробную часть на основание новой системы счисления, пока не получим нулевую дробную часть или не будет достигнута требуемая точность вычислений.
2. Записать полученные целые части произведений в прямой последовательности

Примеры :

1. перевести 0.65625 в 2-ю систему счисления.

Умножаем дробную часть на 2:

целая часть дробная часть

произведения произведения

65625

1 3125

0 625

1 25

0 .65625 = 0.10101 2

1. перевести 0.1 в 2-ю систему счисления.

Умножаем дробную часть на 2:

целая часть дробная часть

произведения произведения

0 2 Умножаем только дробную часть!

0 4 С этого места процесс повторяется

. . .

1. = 0. 0 0011 0011 0011 …

В результате перевода большинства десятичных чисел, имеющих дробную часть, получается число с бесконечной дробью, поэтому действительные (вещественные) числа в компьютере хранятся не точно!

Перевод из 10-ой системы в 8-ую

Перевод целой части

Алгоритм перевода из десятичной системы в систему счисления с основанием q путем деления и записи остатков в обратном порядке более удобен, поэтому для перевода числа в 8-ю и 16-ую системы мы будем использовать его.

Рассмотрим перевод числа 567 в систему счисления с основанием 8.

567 = 1067 8

Перевод дробной части

Переведем 0.65625 в 8-ю систему счисления.

Умножаем дробную часть на 8 :

целая часть дробная часть

произведения произведения

65625

5 25 Умножаем только дробную часть!

0 .65625 = 0. 52 8

Перевод из 10-ой системы в 16-ую

Перевод целой части

Делим число на 16 и записываем остатки в обратном порядке:

В шестнадцатеричной системе счисления необходимо заменить 10 на A , 11 на B и так далее.

Перевод дробной части

Переведем 0.65625 в 16-ю систему счисления.

Умножаем дробную часть на 16 :

целая часть дробная часть

произведения произведения

65625

10(A ) 5 Умножаем только дробную часть!

0.65625 = 0. A 8 16

Перевод из 2-ой системы в 8-ю или 16-ю и обратно

Пожалуй, проще всего осуществляется перевод чисел из двоичной системы в системы с основанием, равным степеням двойки (8 или 16), и наоборот. Для того чтобы целое двоичное число записать в системе счисления с основанием 2 n , нужно

• данное двоичное число разбить на группы по n -цифр в каждой справа налево в целой части и слева-направо в дробной ;
• если в последней группе окажется меньше n разрядов, то дополнить ее нулями до нужного числа разрядов;
• рассмотреть каждую группу, как n -разрядное двоичное число, и заменить ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием 2 n .

Таблица перевода из двоичной системы в 16-ю и обратно

Десятичное значение	Двоичный код	Шестнадцате-ричная цифра
	0 000
	0 001
	0 010
	0 011
	0 100
	0 101
	0 110
	0 111
	1000
	1001
	1010
	1011
	1100
	1101
	1101
	1111

Часть таблицы, выделенная бирюзовым, может использоваться для перевода из 2-й системы в 8-ю и обратно.

Примеры:

1. Переведем число 11101.00111 2 из двоичной системы в восьмеричную.

Разбиваем двоичное число на тройки цифр:

11101.00111 2 = 011 101.001 110 2 = 35.16 8

Заменяем каждую тройку двоичных цифр соответствующей 8-й цифрой (см. таблицу).

Для перевода числа из 8-й системы счисления в 2-ю нужно каждую 8-ю цифру заменить тройкой двоичных цифр (рассмотрите тот же пример справа-налево).

1. Переведем число 10000.110111 2 в 16-ю систему.

Разбиваем двоичное число на четверки цифр:

10000.110 1 11 2 = 000 1 0000.110 1 11 00 2 = 10.DC 16

Заменяем каждую четверку двоичных цифр соответствующей 16-й цифрой (см. таблицу).

Для перевода числа из 16-й системы счисления в 2-ю нужно каждую 16-ю цифру заменить четверкой двоичных цифр (рассмотрите тот же пример справа-налево).

Примеры двоичного кодирования информации

Среди всего разнообразия информации, обрабатываемой на компьютере, значительную часть составляют числовая, текстовая, графическая и аудиоинформация. Познакомимся с некоторыми способами кодирования этих типов информации в ЭВМ.

Кодирование чисел

Существуют два основных формата представления чисел в памяти компьютера. Один из них используется для кодирования целых чисел, второй (так называемое представление числа в формате с плавающей точкой) используется для задания некоторого подмножества действительных чисел.

Кодирование целых чисел

Множество целых чисел, представимых в памяти ЭВМ, ограничено. Диапазон значений зависит от размера области памяти, используемой для размещения чисел. В k -разрядной ячейке может храниться 2 k различных значений целых чисел.

Целые числа могут занимать 1, 2, 4 или 8 байт (для 64-разрядных машин).

Чтобы получить внутреннее представление целого положительного числа N , хранящегося в k -разрядном машинном слове, необходимо:

1. перевести число N в двоичную систему счисления;

2. полученный результат дополнить слева незначащими нулями до k разрядов.

Код целого числа может рассматриваться как двоичное число со знаком или без знака.

При беззнаковом представлении все разряды используются для записи значения числа.

Пример:

Число 107 = 1101011 2 будет записано:

в 1 байт как 01101011

в 2 байта как 00000000 01101011

1-й байт 0-й байт

в 4 байта как 00000000 00000000 00000000 01101011

3-й байт 2-й байт 1-й байт 0-й байт

Минимальное беззнаковое число равно 0. Максимальное беззнаковое число равно 2 n – 1, где n – кол-во двоичных разрядов, используемых для записи числа.

Например для 2-хбайтового представления max =11111111 11111111 2 =
1 00000000 00000000 – 1 = 2 16 – 1 = 65 535

Для записи чисел со знаком старший (левый) разряд отводится под знак числа. Если число неотрицательное, то в знаковый разряд записывается 0, в противном случае – 1, т.е. единица в знаковом разряде означает знак “минус”.

Целые числа со знаком могут быть записаны в прямом, обратном и дополнительном коде.

В прямом коде число хранится в виде: знак+абсолютное значение (модуль) числа.

В обратном коде в значении числа нули заменяют на единицы, а единицы на нули.

Дополнительный код получают путем прибавления 1 к обратному.

Обратный и дополнительный код неотрицательных чисел совпадает с прямым.

Обратный и дополнительный коды чисел позволяют заменить операцию вычитания сложением с отрицательным числом, что существенно упрощает устройство процессора. Варианты арифметических операций будут рассмотрены ниже.

Пример . Рассмотрим внутреннее представление целого отрицательного числа: -6 = 110 2 .

Однобайтовое:

Прямой код: 1 000 0110

Обратный код: 1 111 1001

Дополнительный: 1 111 1001

1 111 1010

Четырехбайтовое :

Прямой код: 1 0000000 00000000 00000000 00000110

Обратный код: 1 111111 1111111 11111111 111 1 1001

Дополнительный: 1 111111 1111111 11111111 11111001

1 111111 1111111 11111111 11111010

Для того, чтобы получить значение отрицательного числа, записанного в дополнительном коде, можно использовать один из двух алгоритмов:

1) вычесть 1 из дополнительного кода (получаем обратный код) и заменить все нули на единицы, а единицы на нули;

2) сначала заменить все нули на единицы, единицы на нули, затем прибавить единицу к результату.

Пример: возьмем однобайтовый доп. код: 1111 1010 и используем второй алгоритм: 1111 1010 -- > - (0000 0101 + 1) = - 110 2 = -6.

Диапазон значений знаковых чисел

Рассмотрим однобайтовое представление. Возможные дополнительные коды знаковых чисел:

0111 1111

. . .

0000 0001

0000 0000

1111 1111

1111 1110 Отрицательные числа

. . .

1000 0000

Рассмотрим десятичные значения этих чисел:

0111 1111 = 2 7 – 1 = 128 - 1 = 127

0000 0001 = 1

0000 0000 = 0

1111 1111 -> -(000 0000 + 1) = -1

1111 1110 -> -(000 0001 + 1) = -2

1000 0000 -> -(111 1111 + 1) = -(1000 0000) = -2 7 = -128

Таким образом диапазон значений знаковых однобайтовых чисел:
от -128 до 127.

Аналогично, диапазон значений двухбайтовых целых чисел:
-2 15 - +(2 15 -1) (от -32768 до 32767 ).

Диапазон значений четырехбайтовых целых чисел со знаком:
-2 31 - +(2 31 – 1) (от -2 147 483 648 до 2 147 483 647 )

Сложение и вычитание целых чисел

В большинстве компьютеров операция вычитания не используется. Вместо нее производится сложение обратных или дополнительных кодов уменьшаемого и вычитаемого. Это позволяет существенно упростить конструкцию арифметико-логического устройства процессора.

Сложение обратных кодов . Здесь при сложении чисел А и В имеют место четыре основных и два особых случая:

1. А и В положительные . При суммировании складываются все разряды, включая разряд знака. Так как знаковые разряды положительных слагаемых равны нулю, разряд знака суммы тоже равен нулю. Например:

Получен правильный результат.

Например:

Получен правильный результат в обратном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются: 1 0000111 = –7 10 .

Например:

Компьютер исправляет полученный первоначально неправильный результат (6 вместо 7) переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы.

4. А и В отрицательные. Например:

Полученный первоначально неправильный результат (обратный код числа –11 10 вместо обратного кода числа –10 10 ) компьютер исправляет переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы. При переводе результата в прямой код биты цифровой части числа инвертируются: 1 0001010 = –10 10 .

Переполнение

При сложении может возникнуть ситуация, когда старшие разряды результата операции не помещаются в отведенной для него области памяти. Такая ситуация называется переполнением разрядной сетки формата числа. Для обнаружения переполнения и оповещения о возникшей ошибке в компьютере используются специальные средства. Ниже приведены два возможных случая переполнения.

5. А и В положительные, сумма А+В больше, либо равна 2 n–1 , где n — количество разрядов формата чисел (для однобайтового формата n=8, 2 n–1 = 2 7 = 128). Например:

Обратите внимание: в результате сложения положительных чисел получен отрицательный результат!

Семи разрядов цифровой части числового формата недостаточно для размещения восьмиразрядной суммы (162 10 = 10100010 2 ), поэтому старший разряд суммы оказывается в знаковом разряде. Это вызывает несовпадение знака суммы и знаков слагаемых , что является свидетельством переполнения разрядной сетки .

6. А и В отрицательные, сумма абсолютных величин А и В больше, либо равна 2 n–1 . Например:

В результате сложения отрицательных чисел получен результат > 0!

Здесь знак суммы тоже не совпадает со знаками слагаемых, что свидетельствует о переполнении разрядной сетки.

Сложение дополнительных кодов . Здесь также имеют место рассмотренные выше шесть случаев:

1. А и В положительные. Здесь нет отличий от случая 1, рассмотренного для обратного кода (коды неотрицательных чисел совпадают).

2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:

Получен правильный результат в дополнительном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются и к младшему разряду прибавляется единица: 1 0000110 + 1 = 1 0000111 = –7 10 .

3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Например:

Получен правильный результат. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает .

4. А и В отрицательные. Например:

Получен правильный результат в дополнительном коде. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает .

Случаи переполнения

Для обнаружения переполнения разрядной сетки знаковый разряд дублируется . Такое представление чисел называется модифицированным дополнительным кодом:

1) 65 00 100 0001

+ 97 + 00 110 0001

162 01 010 0010

Разные цифры в знаковых разрядах свидетельствуют о том, что произошло переполнение.

2) -65 11 011 1111

+ -97 + 11 001 1111

-162 10 101 1110

Переполнение!

Для проверки знаковых разрядов используют результат операции “исключающее ИЛИ”, которая дает значение 1 только если операнды различны.

Сравнение рассмотренных форм кодирования целых чисел со знаком показывает:

на преобразование отрицательного числа в обратный код компьютер затрачивает меньше времени, чем на преобразование в дополнительный код, так как последнее состоит из двух шагов — образования обратного кода и прибавления единицы к его младшему разряду;

время выполнения сложения для дополнительных кодов чисел меньше, чем для их обратных кодов, потому что в таком сложении нет переноса единицы из знакового разряда в младший разряд результата, поэтому для ускорения выполнения расчетов используют дополнительный код .

Умножение и деление

Во многих компьютерах умножение производится как последовательность сложений и сдвигов. Для этого в АЛУ имеется регистр, называемый накапливающим сумматором, который до начала выполнения операции содержит число ноль. В процессе выполнения операции в нем поочередно размещаются множимое и результаты промежуточных сложений, а по завершении операции — окончательный результат.

Другой регистр АЛУ, участвующий в выполнении этой операции, вначале содержит множитель. Затем по мере выполнения сложений содержащееся в нем число уменьшается, пока не достигнет нулевого значения.

Для иллюстрации умножим 110011 2 на 101101 2 .

Деление для компьютера является трудной операцией. Обычно оно реализуется путем многократного прибавления к делимому дополнительного кода делителя.

Кодирование вещественных чисел

Формат с плавающей точкой использует представление вещественного числа R в виде произведения мантиссы m на основание системы счисления q в некоторой целой степени p , которую называют порядком: R = m * q p .

Представление числа в форме с плавающей точкой неоднозначно. Например, справедливы следующие равенства:

12.345 = 0.0012345 * 10 4 = 1234.5 * 10 -2 = 0.12345 * 10 2

Чаще всего в ЭВМ используют нормализованное представление числа в форме с плавающей точкой. Мантисса в таком представлении должна удовлетворять условию: 0.1 p <= m < 1. Иначе говоря, мантисса должна быть меньше 1 и первая значащая цифра - не ноль (p - основание системы счисления).

В памяти компьютера мантисса представляется как целое число, содержащее только значащие цифры (0 целых и запятая не хранятся), так для числа 12.345 в ячейке памяти, отведенной для хранения мантиссы, будет сохранено число 12345. Для однозначного восстановления исходного числа остается сохранить только его порядок, в данном примере - это 2.

Диапазон и точность представления чисел зависят от числа разрядов, отводимых под порядок и мантиссу. Обычно число в формате с плавающей запятой занимает в памяти 4 (float ) или 8 (double ) байтов.

В большинстве вычислительных машин для упрощения операций над порядками их приводят к целым положительным числам, применяя так называемый смещенный порядок . Для этого к истинному порядку добавляется целое положительное число, равное половине представимого диапазона порядков.

Числа с плавающей запятой в разных вычислительных машинах (ВМ) имеют различные форматы. В настоящее время для всех ВМ рекомендован стандарт, разработанный международным центром стандартизации IEEE (In stitute of Electrical and Electronics Engineers ).

Стандарт IEEE 754

Рекомендуемый для всех ВМ формат представления чисел с плавающей запятой определен стандартом IEEE 754. Этот стандарт был разработан с целью облегчить перенос программ с одного процессора на другие и нашел широкое применение практически во всех процессорах и арифметических сопроцессорах.

Рис. 2.24. Основные форматы IEEE 754: а — одинарный; б — двойной

Стандарт определяет 32-битовый (одинарный) и 64-битовый (двойной) форматы (рис. 2.24) с 8- и 11-разрядным порядком соответственно. Самый левый бит хранит знак числа. Основанием системы счисления является 2.

Смещение равно соответственно 127 и 1023.

Максимальный порядок, который может иметь число: 127 и 1023.

Для повышения точности представления мантиссы используют прием скрытой единицы: поскольку в нормализованной мантиссе старшая цифра всегда равна 1, ее можно не хранить. Следовательно, при 4-хбайтовом представлении, мантисса фактически состоит из 24 разрядов. Скрытая единица при выполнении арифметических операций восстанавливается, а при записи результата удаляется.

Пример: рассмотрим 4-хбайтовый код числа 20.5:

20.5 = 10100.1 2 = 0.101001 * 2 5

Порядок (смещенный): 5+127 = 132 = 1000 0100 2

Мантисса: 101001  010010…0 (первая единица – скрытая, в конец мантиссы добавляются нули).

4-хбайтовое представление:

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

порядок мантисса

В 16-ом виде этот код будет выглядеть так: 42240000.

Определим максимальное число и его точность при 4-хбайтовом представлении.

Максимальное число:

.1…1 * 2 127 = 1 * 2 127 = 1.7 * 10 38

Максимальное значение мантиссы:

1…1 (24 единицы) = 2 24 – 1 = 2 10*2.4 = 1024 2.4 = 1.7*10 7 , следовательно точность представления мантиссы 7-8 значащих цифр.

Арифметические операции с числами в формате с плавающей запятой

Сложение и вычитание

Производятся в несколько этапов:

1. Выравниваются порядки чисел в сторону большего (чтобы не получить мантиссы > 1)
2. Складываются мантиссы. Для представления отрицательных чисел используется модифицированный дополнительный код. Порядок суммы будет равен общему порядку слагаемых.
3. Нормализуется результат: порядок и мантисса изменяются так, чтобы первая значащая цифра результата попала в первый разряд после запятой.

Пример 1: Вычесть из числа A = 20.0 число B = 11.0.

A = 20 = 10100 2 = .101 * 2 5 = .101 * 10 101 (все числа –двоичные)

B = 11 = 1011 2 = .1011 * 2 4 = .1011 * 10 100

A порядок числа B и получает 1. Т.к. порядок числа A на единицу больше порядка числа B , порядок числа B увеличивается на 1 и мантисса при этом сдвигается на 1 разряд вправо относительно точки:

B = .01011 * 10 101

Мантисса числа B должна быть записана как отрицательное число (нужно выполнить вычитание):

B = -010110…0 = 1| 101001…1 = 1 | 101010…0

Обратный код Дополнительный

Сложение мантисс в модифицированном дополнительном коде:

00| 1010 00…0 (число A )

+ 11| 1010 10…0 (число B )

1 | 00| 0100 10…0 (сумма, порядок = 101 2 )

Нормализация результата: мантисса сдвигается влево, порядок уменьшается: A - B = .1001* 10 100 = 1001 2 = 9.0

Пример 2: Сложить A = 5.0 и B = 28.0.

A = 5 = 101 2 = .101 * 2 5 = .101 * 10 11 (все числа –двоичные)

B = 28 = 11100 2 = .111 * 2 5 = .111 * 10 101

Процессор для определения разности порядков вычитает из порядка числа A порядок числа B и получает -2. Т.к. порядок числа A на 2 меньше порядка числа B , порядок числа A увеличивается на 2 и мантисса при этом сдвигается на 2 разряда вправо относительно точки:

A = .00101 * 10 101

Сложение мантисс в модифицированном коде:

00| 0010 10…0 (число A )

+ 00 | 1110 00…0 (число B )

01| 0000 10…0 (сумма, порядок = 101 2 )

Произошло нарушение нормализации.

Нормализация результата: мантисса сдвигается вправо, порядок увеличивается: A + B = .100001* 10 110 = 100001 2 = 33.0

При сложении и вычитании чисел с плавающей запятой при сложении мантисс переполнение не фиксируется. Переполнение может возникнуть в процессе нормализации, если порядок превысит максимально допустимый.

Умножение и деление

При умножении чисел в формате с плавающей запятой порядки складываются, а мантиссы перемножаются, затем результат нормализуется.

При делении из порядка делимого вычитается порядок делителя, а мантисса делимого делится на мантиссу делителя, затем результат нормализуется.

Двоично-десятичное кодирование информации

Двоично-десятичный код — (binary-coded decimal ) форма записи целых чисел, когда каждый десятичный разряд числа записывается в виде его четырёхбитного двоичного кода (вместо каждой десятичной цифры записывают ее двоичное значение) . Например, десятичное число 310 будет записано в двоичном коде как 100110110 2 , а в двоично-десятичном коде как 0011 0001 0000 BCD .

Преимущества и недостатки

Преимущества

• Упрощён вывод чисел на индикацию — вместо последовательного деления на 10 требуется просто вывести на индикацию каждый полубайт. Аналогично, проще ввод данных с цифровой клавиатуры.
• Для дробных чисел (как с фиксированной, так и с плавающей запятой) при переводе в человекочитаемый десятичный формат и наоборот не теряется точность.
• Упрощены умножение и деление на 10, а также округление.

По этим причинам двоично-десятичный формат применяется в калькуляторах — калькулятор в простейших арифметических операциях должен выводить в точности такой же результат, какой подсчитает человек на бумаге.

Недостатки

• Усложнены арифметические операции.
• Требует больше памяти.
• В двоично-десятичном коде BCD существуют запрещённые комбинации битов:

Запрещённые в BCD битовые комбинации:

1010 1011 1100 1101 1110 1111

Запрещённые комбинации возникают обычно в результате операций сложения, так как в BCD используются только 10 возможных комбинаций 4-х битового поля вместо 16. Поэтому, при сложении и вычитании чисел формата BCD действуют следующие правила:

• При сложении двоично-десятичных чисел каждый раз, когда происходит перенос бита в старший полубайт, необходимо к полубайту, от которого произошёл перенос, добавить корректирующее значение 0110.
• При сложении двоично-десятичных чисел каждый раз, когда встречается недопустимая для полубайта комбинация, необходимо к каждой недопустимой комбинации добавить корректирующее значение 0110 с разрешением переноса в старшие полубайты.
• При вычитании двоично-десятичных чисел, для каждого полубайта, получившего заём из старшего полубайта, необходимо провести коррекцию, вычитая значение 0110.

Пример операции сложения двоично-десятичных чисел:

Требуется : Найти число A = D + C, где D = 3927, C = 4856

Решение : Представим числа D и C в двоично-десятичной форме: D = 3927 = 0011 1001 0010 0111 C = 4856 = 0100 1000 0101 0110

Суммируем числа D и С по правилам двоичной арифметики:

* **

0011 1001 0010 0111

+ 0100 1000 0101 0110

___________________

= 1000 0001 0111 1101 - Двоичная сумма

+ 0110 0110 - Коррекция

___________________

1000 0111 1000 0011

"*" — тетрада, из которой был перенос в старшую тетраду

"**" — тетрада с запрещённой комбинацией битов

В тетраду, помеченую символом *, добавляем шестёрку т.к по правилам двоичной арифметики перенос унёс с coбой 16, а по правилам десятичной арифметики должен был унести 10. В тетраду, помеченую символом ** , добавляем шестёрку, так как комбинация битов 1101 (что соответствует десятичному числу 13) является запрещённой.

Знак