Из десятичной в восьмеричную. Системы счисления. Перевод из одной системы в другую
Перевод чисел из одной системы счисления в другую составляет важную часть машинной арифметики. Рассмотрим основные правила перевода.
1. Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:
При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки:
Таблица 4. Степени числа 2
n (степень) |
|||||||||||
Пример.
2. Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики:
При переводе удобно пользоваться таблицей степеней восьмерки:
Таблица 5. Степени числа 8
n (степень) |
|||||||
Пример. Число перевести в десятичную систему счисления.
3. Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по правилам десятичной арифметики:
При переводе удобно пользоваться таблицей степеней числа 16:
Таблица 6. Степени числа 16
n (степень) |
|||||||
Пример. Число перевести в десятичную систему счисления.
4. Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.
Пример. Число перевести в двоичную систему счисления.
5. Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.
Пример. Число перевести в восьмеричную систему счисления.
6. Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.
Пример. Число перевести в шестнадцатеричную систему счисления.
В разных областях человеческой деятельности используются разные системы счисления. В повседневной жизни мы используем десятичный счет, машинные операции внутри компьютера осуществляются в двоичном виде, а при просмотре содержимого памяти компьютера оператор видит шестнадцатеричные последовательности. Поэтому нужно научиться быстро переводить числа в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах.
Восьмеричная система счисления
Восьмеричная система примечательна тем, что ее основание - восемь - является степенью двойки. А это дает возможность перевести в восьмеричную систему из двоичной и наоборот при помощи математической хитрости. Так как восемь - это два в третьей степени, одна цифра восьмеричной системы будет переходить строго в три цифры двоичной. И переводить можно, используя таблицу:
0 8 | 000 2 |
1 8 | 001 2 |
2 8 | 010 2 |
3 8 | 011 2 |
4 8 | 100 2 |
5 8 | 101 2 |
6 8 | 110 2 |
7 8 | 111 2 |
Например, число 1001011101010 2 нужно перевести в восьмеричную систему счисления.
- Сначала разобьем его на триады - отрезки по три цифры.
1 001 011 101 010 2
- Так как ровно по три цифры не получилось, добавим слева два нуля. Число от этого не изменится.
001 001 011 101 010 2
- А теперь заменяем каждый отрезок его восьмеричным аналогом, сверяясь с таблицей.
Получили число 1132 8 .
Перевод из десятичной системы в восьмеричную
В этом случае такой упрощенный способ не пройдет. Рассмотрим для примера число 1762 10 , которое нужно перевести в восьмеричный вид.
- Делим с остатком 1762 на 8. Получается 220 и 2 в остатке. 220 больше 8, поэтому продолжаем.
- Делим с остатком 220 на 8. Получается 27 и 4 в остатке. 27 больше 8, поэтому продолжаем.
- Делим с остатком 27 на 8. Получается 3 и 3 в остатке. 3 меньше 8, деление окончено.
Теперь нужно записать сначала последний остаток, а затем в обратном порядке частные от деления на всех этапах.
Последний остаток равен 3. Частное на 3 этапе равно 3. Частное на 2 этапе равно 4. Частное на 1 этапе равно 2. Получаем число 3342 8 , которое и является правильным ответом.
Как перевести в восьмеричную систему из десятичной попроще? Сначала из десятичного число нужно перевести в двоичный вид, а затем в восьмеричный с помощью таблицы. Перевод из десятичной системы в двоичную полностью аналогичен описанному алгоритму, только делить надо не на восемь, а, соответственно, на два. Именно потому, что делить на два проще, чем на восемь, переводом в из десятичной или шестнадцатеричной систем в восьмеричную через двоичную нередко пользуются. А так как шестнадцать - это два в четвертой степени, для перевода из шестнадцатеричной системы в двоичную существует такая же таблица, но для отрезков по четыре цифры.
Лабораторная работа №1
Тема: Система счисления. Перевод целых десятичных чисел в двоичную, восьмеричную, шестнадцатиричную систему счисления. (1 час), СРСП(1 час).
Десятичная система счисления
Название «десятичная» объясняется тем, что в основе этой системы лежит основание десять. В этой системе для записи чисел используются десять цифр - 0, 1, 2, 3, 4 , 5, 6, 7, 8, 9.
Десятичная система является позиционной, так как значение цифры в записи десятичного числа зависит от ее позиции, или местоположения, в числе.
Позицию, отводимую для цифры числа, называют разрядом.
Например, запись 526 означает, что число состоит из 5 сотен, 2 десятков и 6 единиц, Цифра 6 стоит в разряде единиц. Цифра 2 - в разряде десятков цифра 5-в разряде сотен.
Это число записать в виде суммы:
526=5*10 2 +2*10 1 +6*10 0
в этой записи число 10-основание системы счисления. Для каждой цифры числа основание 10 возводится в степень, зависящую от позиции цифры, и умножается на эту цифру. Степень основания для единиц равна нулю, для десятков - единице, для сотен – двум и т.д.
Для записи десятичных дробей используются отрицательные значения степеней основания. Например, число 555,55 в развернутой форме записывается следующим образом:
555,55 10 = 5*10 2 + 5*10 1 + 5*10°+ 5*10- 1 +5*10- 2 .:
Перевод целых десятичных чисел в двоичную систему счисления.
При переводе десятичного числа в двоичное нужно это число делить на 2. Чтобы перевести целое положительное десятичное число в двоичную систему счисления, нужно это число разделить на 2. Полученное частное снова разделить на 2 и т.д. до тех пор, пока частное не окажется меньше 2. В результате записать в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего.
Пример. Число 891 перевести из десятичной системы в двоичную систему счисления.
Решение:
1:2=0, 1 (старшая цифра двоичного числа)
Записываем в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего.
Ответ: 891 10 =1101111011 2
Перевод десятичных дробей в двоичную систему счисления
Перевод десятичных дробей в двоичную систему счисления заключается в поиске целых частей при умножении на 2.
Пример. Переведем десятичную дробь 0,322 в двоичную систему счисления.
Чтобы найти первую после запятой цифру двоичной дроби, нужно умножить заданное число на 2 и выделить целую часть произведения.
Решение:
0,322 10 8,83 10
0.322*2=0.644 0 8:2=4 остаток 0
0.644*2=1.288 1 4:2=2 остаток 0
0.288*2=0.576 0 2:2=1 остаток 0
0.576*2=1.152 1 1:2=0 остаток 1
0,3222 10 =0.0101 2 0.83*2=1.66 целая часть равна 1
0.66*2=1.32 целая часть равна 1
0.32*2=0.64 целая часть равна 0
0.64*2=1.28 целая часть равна 1
Ответ: 8,83=1000,1101
Перевод десятичных чисел в восьмеричную систему счисления
Для перевода числа из десятичной системы в восьмеричную применяется тот же прием, что и при переводе в двоичную систему.
Преобразуемое число делят на 8 по правилам десятичной системы с запоминанием остатка, который, конечно, не превышает 7. Если полученное частное больше 7, его тоже делят на 8, сохраняя остаток.
Решение:
(старшая цифра двоичного числа).
Ответ: 891 10 =1573 8