Определитель матрицы 2х2. Определитель матрицы. Методы вычислений определителей

60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Выпишем множители, входящие в разложение первого из этих чисел и добавим к ним недостающий множитель 5 из разложения второго числа. Получаем: 2*2*3*5*5=300. Нашли НОК, т.е. эта сумма = 300. Не забываем размерность и пишем ответ:
Ответ: Мама дает по 300 рублей.

Определение НОД: Наибольшим общим делителем (НОД) натуральных чисел а и в называют наибольшее натуральное число c , на которое и a , и b делятся без остатка. Т.е. c это нибольшее натуральное число, для которого и а и б являются кратными.

Памятка: Существуют два подхода к определению натуральных чисел

• числа, используемые при: перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий, …); - в школах, обычно так .
• обозначении количества предметов (нет покемонов - ноль, один покемон, два покемона, …).

Отрицательные и нецелые (рациональные, вещественные, …) числа натуральными не являются. Ноль некоторые авторы включают в множество натуральных чисел, другие - нет. Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом N

Памятка: Делителем натурального числа a называют число b, на которое a делится без остатка. Кратным натуральному числу b называют натуральное число a , которое делится на b без остатка. Если число b - делитель числа a , то a кратно числу b . Пример: 2 - делитель 4, а 4 кратно двум. 3 - делитель 12, а 12 кратно 3.
Памятка: Натуральные числа называют простыми, если они делятся без остатка только на себя и на 1. Взаимно простыми называются числа у которых только один общий делитель, равный 1.

Определение как найти НОД в общем случае: Чтобы найти НОД (Наибольший общий делитель) нескольких натуральных чисел надо:
1) Разложить их на простые множители. (Для этого Вам может очень пригодиться Таблица простых чисел.)
2) Выписать множители, входящие в разложение одного из них.
3) Вычеркнуть те, которые не входят в разложение остальных чисел.
4) Перемножить множители, получившиеся в п.3).

Задача 2 на (НОК): К новому году Коля Пузатов купил в городе 48 хомяков и 36 кофейников. Фекла Дормидонтова, как самая честная девочка класса, получила задание разделить это имущество на наибольшее возможное число подарочных наборов для учителей. Какое число наборов получилось? Какой состав наборов?

Пример 2.1. решения задачи на нахождение НОД. Нахождение НОД подбором.
Решение: Каждое из чисел и 48, и 36 должно делиться на число подарков.
1) Выпишем делители 48: 48, 24, 16, 12 , 8, 6, 3, 2, 1
2) Выпишем делители 36: 36, 18, 12 , 9, 6, 3, 2, 1 Выбираем наибольший общий делитель. Оп-ля-ля! Нашли, это число наборов 12 штук.
3) Поделим 48 на 12 получим 4, поделим 36 на 12, получим 3. Не забываем размерность и пишем ответ:
Ответ: Получится 12 наборов по 4 хомяка и 3 кофейника в каждом наборе.

НОД - это наибольший общий делитель.

Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких чисел необходимо:

• определить множители, общие для обоих чисел;
• найти произведение общих множителей.

Пример нахождения НОД:

Найдем НОД чисел 315 и 245.

315 = 5 * 3 * 3 * 7;

245 = 5 * 7 * 7.

2. Выпишем множители, общие для обоих чисел:

3. Найдем произведение общих множителей:

НОД(315; 245) = 5 * 7 = 35.

Ответ: НОД(315; 245) = 35.

Нахождение НОК

НОК - это наименьшее общее кратное.

Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких чисел необходимо:

• разложить числа на простые множители;
• выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;
• допишем к ним недостающие множители из разложения второго числа;
• найти произведение получившихся множителей.

Пример нахождения НОК:

Найдем НОК чисел 236 и 328:

1. Разложим числа на простые множители:

236 = 2 * 2 * 59;

328 = 2 * 2 * 2 * 41.

2. Выпишем множители, входящие в разложение одного из чисел и допишем к ним недостающие множители из разложения второго числа:

2; 2; 59; 2; 41.

3. Найдем произведение получившихся множителей:

НОК(236; 328) = 2 * 2 * 59 * 2 * 41 = 19352.

Ответ: НОК(236; 328) = 19352.

Для нахождения НОД (наибольшего общего делителя) двух чисел необходимо:

2. Найти (подчеркнуть) все общие простые множители в полученных разложениях.

3. Найти произведение общих простых множителей.

Для нахождения НОК (наименьшего общего кратного) двух чисел необходимо:

1. Разложить данные числа на простые множители.

2. Разложение одного из них дополнить теми множителями разложения другого числа, которых нет в разложении первого.

3. Вычислить произведение полученных множителей.

Признаки делимости натуральных чисел.

Числа, делящиеся без остатка на 2, называются четными .

Числа, которые не делятся без остатка на 2, называются нечетными .

Признак делимости на 2

Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число делится без остатка на 2, а если запись числа оканчивается нечетной цифрой, то это число не делится без остатка на 2.

Например, числа 6 0 , 30 8 , 8 4 делятся без остатка на 2, а числа 5 1 , 8 5 , 16 7 не делятся без остатка на 2.

Признак делимости на 3

Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3; если сумма цифр числа не делится на 3, то и число не делится на 3.

Например, выясним, делится ли на 3 число 2772825. Для этого подсчитаем сумму цифр этого числа: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - делится на 3. Значит, число 2772825 делится на 3.

Признак делимости на 5

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится без остатка на 5. Если же запись числа оканчивается иной цифрой, то число без остатка на 5 не делится.

Например, числа 1 5 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 делятся без остатка на 5, а числа 1 7 , 37 8 , 9 1 не делятся.

Признак делимости на 9

Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9; если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9.

Например, выясним, делится ли на 9 число 5402070. Для этого подсчитаем сумму цифр этого числа: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - не делится на 9. Значит, число 5402070 не делится на 9.

Признак делимости на 10

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10. Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10.

Например, числа 4 0 , 17 0 , 1409 0 делятся без остатка на 10, а числа 1 7 , 9 3 , 1430 7 - не делятся.

Правило нахождения наибольшего общего делителя (НОД).

Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел, надо:

2) из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел;

3) найти произведение оставшихся множителей.

Пример. Найдем НОД (48;36). Воспользуемся правилом.

1. Разложим числа 48 и 36 на простые множители.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Из множителей, входящих в разложение числа 48 вычеркнем те, которые не входят в разложение числа 36.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

Остаются множители 2, 2 и 3.

3. Перемножим оставшиеся множители и получим 12. Это число и является наибольшим общим делителем чисел 48 и 36.

НОД (48;36) = 2 · 2 · 3 = 12.

Правило нахождения наименьшего общего кратного (НОК).

Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо:

1) разложить их на простые множители;

2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;

3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;

4) найти произведение получившихся множителей.

Пример. Найдем НОК (75;60). Воспользуемся правилом.

1. Разложим числа 75 и 60 на простые множители.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Выпишем множители, входящие в разложение числа 75: 3, 5, 5.

НОК (75;60) = 3 · 5 · 5 · …

3. Добавим к ним недостающие множители из разложения числа 60, т.е. 2, 2.

НОК (75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. Найдем произведение получившихся множителей

НОК (75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

С понятиями наибольшего общего делителя(НОД) и наименьшего общего кратного(НОК) учащиеся средней школы, встречаются в шестом классе. Данная тема всегда трудна для усвоения. Дети часто путают эти понятия, не понимают, зачем их нужно изучать. В последнее время и в научно-популярной литературе встречаются отдельные высказывания о том, что данный материал нужно исключить из школьной программы. Думаю, что это не совсем верно, и изучать его нужно если не на уроках, то во внеурочное время на занятиях школьного компонента обязательно, так как это способствует развитию логического мышления школьников, повышению скорости вычислительных операций, умению решать задачи красивыми методами.

При изучении темы "Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями" мы учим детей находить общий знаменатель двух или более чисел. Например, нужно сложить дроби 1/3 и 1/5. Учащиеся без труда находят число, делящееся без остатка на 3 и 5 . Это число 15. Действительно, если числа небольшие, то их общий знаменатель найти легко, зная хорошо таблицу умножения. Кто-то из ребят замечает, что это число является произведением чисел 3 и 5. У детей складывается мнение, что всегда таким образом можно найти общий знаменатель для чисел. К примеру вычитаем дроби 7/18 и 5/24. Найдем произведение чисел 18 и 24 . Оно равно 432. Получили уже большое число, а если дальше нужно производить какие-то вычисления(особенно это касается примеров на все действия), то вероятность ошибки возрастает. А вот найденное наименьшее общее кратное чисел (НОК), что в этом случае равнозначно наименьшему общему знаменателю (НОЗ)-число 72 -значительно облегчит вычисления и приведет к более быстрому решению примера, а тем самым сэкономит время, отведенное на выполнение данного задания, что играет немаловажную роль при выполнении итоговых тестовых, контрольных работ, особенно во время итоговой аттестации.

При изучении темы "Сокращение дробей" можно двигаться последовательно деля числитель и знаменатель дроби на одно и то же натуральное число, используя при этом признаки делимости чисел, получив в конечном итоге несократимую дробь. Например, нужно сократить дробь 128/344. Разделим сначала числитель и знаменатель дроби на число 2, получим дробь 64/172. Ещё раз поделим числитель и знаменатель полученной дроби на 2, получим дробь 32/86. Поделить ещё раз числитель и знаменатель дроби на 2 , получим несократимую дробь 16/43. Но сокращение дроби можно выполнить гораздо проще, если мы найдем наибольший общий делитель чисел 128 и 344. НОД(128, 344) = 8. Разделив числитель и знаменатель дроби на это число, получим сразу несократимую дробь.

Нужно показать детям разные способы нахождения наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК)чисел. В простых случаях удобно находить наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК)чисел путем простого перебора. Когда числа становятся больше, можно использовать разложение чисел на простые множители. В учебнике шестого класса (автор Н.Я.Виленкин)показан следующий способ нахождения наибольшего общего делителя (НОД)чисел. Разложим числа на простые множители:

• 16 = 2*2*2*2
• 120 = 2*2*2*3*5

Затем из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркиваем те, которые не входят в разложение другого числа. Произведение оставшихся множителей и будет являться наибольшим общим делителем этих чисел. В данном случае это число 8. На своем опыте убедилась в том, что детям более понятно, если мы подчеркиваем одинаковые множители в разложениях чисел, а затем в одном из разложений находим произведение подчеркнутых множителей. Это и есть наибольший общий делитель данных чисел. В шестом классе дети активны и любознательны. Можно поставить перед ними следующую задачу: попробуйте описанным способом найти наибольший общий делитель чисел 343 и 287. Сразу не видно, как разложить их на простые множители. И вот здесь можно рассказать им про замечательный способ, придуманный древними греками, позволяющий искать наибольший общий делитель(НОД)без разложения на простые множители. Этот метод отыскания наибольшего общего делителя впервые описан в книге Евклида "Начала". Его называют алгоритмом Евклида. Заключается он в следующем: Вначале делят большее число на меньшее. Если получается остаток, то делят меньшее число на остаток. Если снова получается остаток, то делят первый остаток на второй. Так продолжают делить до тех пор, пока в остатке не получится нуль. Последний делитель и есть наибольший общий делитель (НОД)данных чисел.

Вернемся к нашему примеру и для наглядности запишем решение в виде таблицы.

Итак, НОД(344,287) = 7

А как найти наименьшее общее кратное (НОК) тех же чисел? Нет ли и для этого какого-нибудь способа, не требующего предварительного разложения этих чисел на простые множители? Оказывается, есть, и притом очень простой. Нужно перемножить эти числа и разделить произведение на найденный нами наибольший общий делитель(НОД). В данном примере произведение чисел равно 98441. Делим его на 7 и получаем число 14063. НОК(343,287) = 14063.

Одной из трудных тем в математике является решение текстовых задач. Нужно показать учащимся, как с помощью понятий "Наибольший общий делитель (НОД)" и "Наименьшее общее кратное (НОК)" можно решать задачи, которые порой трудно решить обычным способом. Здесь уместно рассмотреть с учащимися наряду с задачами, предложенными авторами школьного учебника, старинные и занимательные задачи, развивающие любознательность детей и повышающие интерес к изучению данной темы. Умелое владение этими понятиями позволяет учащимся увидеть красивое решение нестандартной задачи. А если у ребенка после решения хорошей задачи поднимается настроение-это признак успешной работы.

Таким образом, изучение в школе таких понятий, как "Наибольший общий делитель(НОД)" и "Наименьшее общее кратное (НОК)"чисел

Позволяет экономить время, отводимое на выполнение работы, что приводит к значительному увеличению объема выполненных заданий;

Повышает скорость и точность выполнения арифметических операций, что ведет к значительному уменьшению количества допускаемых вычислительных ошибок;

Позволяет находить красивые способы решения нестандартных текстовых задач;

Развивает любознательность учащихся, расширяет их кругозор;

Создает предпосылки для воспитания разносторонней творческой личности.

Ланцинова Айса

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Задачи на НОД и НОК чисел Работа ученицы 6 класса МКОУ «Камышовская ООШ» Ланциновой Айсы Руководитель Горяева Зоя Эрднигоряевна, учитель математики с. Камышово, 2013г

Пример нахождения НОД чисел 50, 75 и 325. 1) Разложим числа 50, 75 и 325 на простые множители. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 2) Из множителей входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнем те, которые не входят в разложение других. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 3) Найдём произведение оставшихся множителей 5 ∙ 5 = 25 Ответ: НОД (50, 75 и 325)= 25 Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b называют наибольшим общим делителем этих чисел.

Пример нахождения НОК чисел 72, 99 и 117. 1) Разложим на простые множители числа 72, 99 и 117. 72 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 99 = 3 ∙ 3 ∙ 11 117 = 3 ∙ 3 ∙13 2) Выписать множители, входящих в разложение одного из чисел 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 и добавить к ним недостающие множители остальных чисел. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3)Найдите произведение получившихся множителей. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 Ответ: НОК (72, 99 и 117) = 10296 Наименьшим общим кратным натуральных чисел a и b называют наименьшее натуральное число, которое кратно a и b .

Лист картона имеет форму прямоугольника, длина которого 48 см., а ширина 40 см. Этот лист надо разрезать без отходов на равные квадраты. Какие наибольшие квадраты можно получить из этого листа и сколько? Решение: 1) S = a ∙ b – площадь прямоугольника. S= 48 ∙ 40 = 1960 см ² . – площадь картона. 2) a – сторона квадрата 48: a – число квадратов, которое можно уложить по длине картона. 40: а – число квадратов, которое можно уложить по ширине картона. 3) НОД (40 и 48) = 8(см) – сторона квадрата. 4) S = a² – площадь одного квадрата. S = 8² = 64 (см ² .) – площадь одного квадрата. 5) 1960: 64 = 30 (количество квадратов). Ответ: 30 квадратов со стороной 8 см каждый. Задачи на НОД

Камин в комнате необходимо выложить отделочной плиткой в форме квадрата. Сколько плиток понадобится для камина размером 195 ͯ 156 см и каковы наибольшие размеры плитки? Решение: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (см ²) – S поверхности камина. 2) НОД (195 и 156) = 39 (см) – сторона плитки. 3) S = a² = 39² = 1521 (см ²) – площадь 1 плитки. 4) 30420: = 20 (штук). Ответ: 20 плиток размером 39 ͯ 39 (см). Задачи на НОД

Садовый участок размером 54 ͯ 48 м по периметру необходимо оградить забором, для этого через равные промежутки надо поставить бетонные столбы. Сколько столбов необходимо привезти для участка, и на каком максимальном расстоянии друг от друга будут стоять столбы? Решение: 1) P = 2(a + b) – периметр участка. P = 2(54 + 48) = 204 м. 2) НОД (54 и 48) = 6 (м) – расстояние между столбами. 3) 204: 6 = 34 (столба). Ответ: 34 столба, на расстоянии 6 м. Задачи на НОД

Из 210 бордовых, 126 белых, 294 красных роз собрали букеты, причём в каждом букете количество роз одного цвета поровну. Какое наибольшее количество букетов сделали из этих роз и сколько роз каждого цвета в одном букете? Решение: 1) НОД (210, 126 и 294) = 42 (букета). 2) 210: 42 = 5 (бордовых роз). 3) 126: 42 = 3 (белых роз). 4) 294: 42 = 7 (красных роз). Ответ: 42 букета: 5 бордовых, 3 белых, 7 красных роз в каждом букете. Задачи на НОД

Таня и Маша купили одинаковое число почтовых наборов. Таня заплатила 90 руб., а Маша на 5 руб. больше. Сколько стоит один набор? Сколько наборов купила каждая? Решение: 1) 90 + 5 = 95 (руб.) заплатила Маша. 2) НОД (90 и 95) = 5 (руб.) – цена 1 набора. 3) 980: 5 = 18 (наборов) – купила Таня. 4) 95: 5 = 19 (наборов) – купила Маша. Ответ: 5 рублей, 18 наборов, 19 наборов. Задачи на НОД

В портовом городе начинаются три туристских теплоходных рейса, первый из которых длится 15 суток, второй – 20 и третий – 12 суток. Вернувшись в порт, теплоходы в этот же день снова отправляются в рейс. Сегодня из порта вышли теплоходы по всем трём маршрутам. Через сколько суток они впервые снова вместе уйдут в плавание? Какое количество рейсов сделает каждый теплоход? Решение: 1) НОК (15,20 и 12) = 60 (суток) – время встречи. 2) 60: 15 = 4 (рейса) – 1 теплоход. 3) 60: 20 = 3 (рейса) – 2 теплоход. 4) 60: 12 = 5 (рейсов) – 3 теплоход. Ответ: 60 суток, 4 рейса, 3 рейса, 5 рейсов. Задачи на НОК

Маша для Медведя купила в магазине яйца. По дороге в лес она сообразила, что число яиц делится на 2,3,5,10 и 15. Сколько яиц купила Маша? Решение: НОК (2;3;5;10;15) = 30 (яиц) Ответ: Маша купила 30 яиц. Задачи на НОК

Требуется изготовить ящик с квадратным дном для укладки коробок размером 16 ͯ 20 см. Какова должна быть наименьшая длина стороны квадратного дна, чтобы уместить коробки в ящик вплотную? Решение: 1) НОК (16 и 20) = 80 (коробок). 2) S = a ∙ b – площадь 1 коробки. S = 16 ∙ 20 = 320 (см ²) – площадь дна 1 коробки. 3) 320 ∙ 80 = 25600 (см ²) – площадь квадратного дна. 4) S = а² = а ∙ а 25600 = 160 ∙ 160 – размеры ящика. Ответ: 160 см- сторона квадратного дна. Задачи на НОК

Вдоль дороги от пункта К стоят столбы электролинии через каждые 45 м. Эти столбы решили заменить другими, поставив их на расстоянии 60 м друг от друга. Сколько столбов было и сколько будут стоять? Решение: 1) НОК (45 и 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 –было столбов. 3) 180: 60 = 3 – стало столбов. Ответ: 4 столба, 3 столба. Задачи на НОК

Сколько солдат маршируют на плацу, если они будут маршировать строем по 12 человек в шеренге и перестраиваться в колонну по 18 человек в шеренге? Решение: 1)НОК (12 и 18) = 36 (человек) – маршируют. Ответ: 36 человек. Задачи на НОК