Это задачи для самых умных юных физиков. Межрегиональная физическая олимпиада
Олимпиада школьников по физике, 8 класс, 2010-2011 уч. год
Олимпиада школьников
по физике
2010–2011 учебный год
8 класс
Дорогой друг! Желаем успеха!
Задания (максимальный балл за всю работу – 40)
1 В калориметре находится m = 100 г расплавленного металла галлия при температуре его плавления t пл = 29,8 °C. Его начали медленно охлаждать, оберегая от внешних воздействий, и в результате температура понизилась до t = 19,8 C, а галлий остался жидким. Когда переохлажденный таким образом жидкий галлий размешали палочкой, он частично перешел в твердое состояние. Найдите массу отвердевшего галлия и установившуюся в калориметре температуру. Удельная теплота плавления галлия λ = 80 кДж/кг, удельная теплоемкость жидкого галлия c = 410 Дж / (кг∙°C). Теплоёмкостью калориметра и палочки пренебречь.
Степень повреждения льда показывает, что у станции нет возможности выжить этим летом. Поэтому было принято решение о начале эвакуации. В настоящее время люди не подвержены риску, но сейчас лучше делать это, чем в чрезвычайных ситуациях, - сказал Владимир Соколов, руководитель программы «Российская Арктика». Ледокол «Ямал» был отправлен на место, и экипаж базы должен быть в безопасности.
Арктическое ледовое состояние в июне. Черные и серые пятна показывают места с более низкой концентрацией льда, в основном ледяным облаком. Источник: Университет Бремена. Текущие спутниковые данные показывают, что во многих местах лед находится в очень плохом состоянии. Рядом с Северным полюсом, в сотнях километров отсюда, есть большая площадь, напоминающая рассеяние льда, которая, вероятно, полностью тает в течение лета. И это очень необычно - оттаивание обычно идет от краев, в то время как в центральной Арктике лед является самым сильным и больше не выживет летом.
10 баллов
2 Школьники побывали в музее-имении Л. Н. Толстого «Ясная поляна» и возвращались в Рязань на автобусах, которые ехали со скоростью v 1 = 70 км/ч. Пошел дождь, и водители снизили скорость до v 2 = 60 км/ч. Когда дождь кончился, до Рязани оставалось проехать S = 40 км. Автобусы поехали со скоростью v 3 = 75 км/ч и въехали в Рязань точно в запланированное время. Сколько времени шел дождь? Чему равна средняя скорость автобуса? Для упрощения считайте, что автобусы в пути не останавливались.
Это не так в этом году, и очевидно, что мы видим что-то очень странное. Они ждут нас менее трех месяцев плавления, потому что их минимальный уровень достигается арктическим льдом в середине сентября. В настоящее время эксперты обсуждают, являемся ли мы свидетелями окончания арктического оледенения. На момент написания этой статьи метеорологи прогнозировали температуру около 32 градусов для Анкориджа на Аляске, в местах температура в Сибири достигает 30 градусов, а в Гренландии около 15 градусов, что отражается на таянии материкового льда.
Плохое состояние льда хорошо видно на спутниковых снимках в июне
Таяние в Арктике и экстремальные погодные условия
Все больше ученых пришли к выводу, что таяние льда оказывает большое влияние на погоду в северном полушарии. Это может быть связано с необычайно сильными снежными бурями, а также с жарой, засухой или наводнениями.10 баллов
3. Во льдах Арктики в центре небольшой плоской льдины площадью S = 70 м 2 сидит белый медведь массой m = 700 кг. При этом надводная часть льдины выступает над поверхностью воды на высоту h = 10 см. На какой глубине под водой находится нижняя поверхность льдины? Плотность воды в = 1000 кг/м 3 , плотность льда л = 900 кг/м 3 .
Мы будем все чаще сталкиваться с холодным арктическим воздухом, проникающим дальше на юг, в то время как в другом месте теплый воздух может проникать дальше на север. В результате иногда в Гренландии иногда бывает более тепло, чем в то же время в нашей стране. Следует ожидать, что, как только арктический лед полностью исчезнет, эти климатические экстремумы все равно будут складываться.
Арктический лед постепенно уменьшается в Арктике. О чем мы должны беспокоиться? Американский национальный центр данных по снегу и льду в Колорадо Боулдер выпускает ежемесячный отчет о состоянии льда, плавающего в холодных водах вокруг Северного полюса. Для тех, кто регулярно следит за этой информацией, нет никаких новостей о том, что в июле этого года мы могли бы стать рекордными небольшими ледяными ледяными арктическими ледниками, причем данные достигли первых спутниковых наблюдений в конце 1970-х годов.
10 баллов
4. Провода над железной дорогой, питающие током электропоезда, натягиваются с помощью системы, показанной на рисунке. Она крепится к столбу и состоит из тросов, блоков с изоляторами и стального груза квадратного сечения со стороной a = 20 см. Сила натяжения толстого троса, который идет от крайнего блока к держателю проводов, равна T = 8 кН. Какова высота h стального груза? Плотность стали равна с = 7800 кг/м 3 . Ускорение свободного падения g = 10 м/с 2 .
И у нас есть до конца летних месяцев. Арктический морской лед обычно тает до середины сентября, когда темные ночи и низкие температуры возвращаются на крайний север, а затем ледяной покров снова расширяется. Ученые и ученые, изучающие арктический лед, обычно делятся на два профессиональных лагеря. Первый из них состоит из тех, которые посвящены ледяному леднику материка, который расположен в горных ледниках северной Канады и Европы или держится на огромных ледяных поверхностях, покрывающих приблизительно 80 процентов Гренландии.
Их исследования имеют ясную, практическую причину - по мере постепенного повышения температуры в атмосфере арктические ледники разрушаются и растапливаются, подавая воду с материка в океаны, а уровни моря постепенно растут. Если только треть льда, покрывающего Гренландию, растает, уровень моря увеличится более чем на два метра. Данные, собранные этими исследователями и исследователями, помогают усовершенствовать компьютерные модели, которые могут прогнозировать скорость подъема уровня моря в течение следующего столетия.
10 баллов
8 класс
Возможные решения задач
1. Решение. При отвердевании галлия выделяется теплота кристаллизации, что приводит к нагреванию системы до температуры плавления галлия t пл = 29,8 ◦ C, поскольку только при этой температуре жидкий и твёрдый галлий будут находиться в равновесии.
Количество теплоты, выделяющееся при отвердевании массы m1 галлия, равно λm 1 .
Что происходит, когда арктический лед тает еще больше? В последний раз Арктика была без льда, вероятно, 125 000 лет назад. Однако изучение морского льда - совершенно другое дело. С технической точки зрения, речь идет об изучении льда, который «растет» на поверхности крупных соленой воды, подверженных сильному холоду в течение длительного времени. Океанографы часто описывают этот процесс с загадочной лексикой. Морской лед берется из маленьких трехмиллиметровых иглообразных кристаллов, называемых фразилами.
В зависимости от морских условий, Фразил превращается в «блинный лед» или «жирный лед» и со временем сливается в толстые плавающие массы. В то время как наша планета испытала самые теплые годовые температуры в последние годы, морское ледяное покрова вокруг Антарктиды увеличилось, по-видимому, из-за естественной изменчивости климата. Но лед, покрывающий Северный полюс и прилегающие арктические земли, быстро отступил. В апреле меня сопровождала группа ученых, направлявшихся на северо-восток Гренландии.
Оно идёт на нагревание всего галлия до температуры плавления; для этого требуется
количество теплоты cm(t пл − t).Следовательно, m1 = cm(t пл − t)/λ ≈ 5,1 г.
Заметим, что если бы переохлаждение было очень сильным, то теплоты кристаллизации могло бы не хватить для нагревания всей массы галлия до температуры плавления.
Однако, поскольку m 1
Когда мы приблизились к побережью, все застряли в окнах самолета и в миле за милей наблюдали, как течет морское море. Это явление называется «Арктическое усиление» учеными и учеными. Неофициальный способ измерения этого усиления состоит в том, чтобы предоставить сотни лет журналам военно-морских матросов, которые записывают подробные записи в период, когда Северный лед мог быть заключен в тюрьму на несколько месяцев, а когда давление сталкивающегося айсберга может расколоть киль армированного корабля как ореховую скорлупу.
Мы также знаем, что так называемый Северо-западный проезд, коварный, покрытый льдом путь от Атлантики до Тихого океана через Северную Канаду, теперь полностью проходим. Для этой привилегии каждый из них заплатил 22 000 долларов, а круиз был распродан в течение трех недель. Лучший способ измерить потерю морского льда - это, конечно, воздушные и спутниковые наблюдения. Якелин Рихтер-Менге из лаборатории исследований холодного поля Американского военного корпуса инженеров в Нью-Хэмпшире сказал мне, что «средний темп потери морского льда составляет около 13 процентов за десятилетие» с года в год.
2. Решение. Средняя скорость автобуса – это отношение пройденного пути к затраченному времени. Так как расстояние от Ясной поляны до Рязани из-за дождя не изменилось, и время, проведённое школьниками в автобусе, также не изменилось (потому что автобусы въехали в Рязань в точно запланированное время), то средняя скорость совпадает с начальной скоростью v ср = 70 км/ч. Пусть дождь шёл в течение времени t. Тогда путь, пройденный за это время, составил v 2 t. Время, за которое после дождя автобусы проехали оставшееся расстояние, равно S/v3. Ясно, что время, затраченное автобусами с момента начала дождя до прибытия в Рязань, должно равняться времени, которое потребовалось бы для преодоления того же расстояния с начальной скоростью v 1:
Существует также еще один способ проиллюстрировать ситуацию. За последние тридцать лет Арктика потеряла около 50 процентов своего ледяного покрова, примерно половину континентальной поверхности Соединенных Штатов, а лед, который исчез, уменьшился, тем самым уменьшив объем льда. Учитывая толщину льда, это, вероятно, две трети, - сказала Дженнифер Фрэнсис, ученый из Университета Рутгерса. «Это немного история без хороших новостей», - добавила она.
Атмосферные блоки и таяние льда. Гигантские и хаотические климатические системы, которые контролируют нашу атмосферу и океаны, - это понимание того, как одно изменение - уменьшенная степень морского льда - влияет на места и людей за тысячи километров, настолько невероятно сложный, что он даже пытается использовать самые сложные суперкомпьютеры. Однако понимание того, что тот факт, что мы входим в новую минимальную протяженность морского льда, сегодня является одной из величайших научных задач. Морской лед, который исходит от самого океана, не имеет прямого влияния на уровень моря, в отличие от материкового льда, поэтому его таяние не создает риска прибрежных наводнений.
Отсюда находим время, в течение которого шёл дождь:
3. Решение. Обозначим через x искомую глубину. Сила тяжести, действующая на льдину с медведем, равна, очевидно, g(m +ρлS(h + x)). Она должна равняться силе давления воды на нижнюю поверхность льдины, находящуюся на глубине x, то есть ρ в gxS, поскольку льдина находится в состоянии равновесия. Отсюда получаем:
С другой стороны, несколько недавних научных статей представили гипотезу о том, что отступление морского льда может повлиять на многие другие явления, такие как ледяной покров на материковой части Гренландии или бури на северо-востоке Соединенных Штатов.
Когда лед отступает и показывает уровень моря ниже его, внешний вид региона меняется. Уровень открытого моря уменьшает отражение Арктики, а это означает, что темная поверхность поглощает больше солнечной энергии и, следовательно, меньше уменьшает вселенную. Больше морского льда теряется, океан поглощает больше энергии, и это может привести к более высоким температурам и похудению льда в следующем году. Этот процесс можно повторить до тех пор, пока усиление не покинет всю площадь, полностью свободную от льда летом.
x = (m+ ρ л hS)/((ρ в − ρ л)S) = 1 м.
4. Решение. Легко видеть, что каждый блок, охваченный двумя горизонтальными участками тросов, даёт выигрыш в силе в 2 раза. Значит, три таких блока, изображённые на рисунке, дадут выигрыш в 2 3 = 8 раз. Сила тяжести, действующая на груз, равна ρ с gV , где V = a 2 h - объём груза.
Значит, сила натяжения толстого троса будет в 8 раз больше: T = 8ρ с gV .
В прошлом году ученые стали задаваться вопросом, влияют ли изменения в морском льду на влажность воздуха и атмосферные условия в регионе. Дженнифер Фрэнсис обращает внимание на связь между сокращением морского льда и более частым появлением атмосферных «блоков», погодных условий, которые привлекают теплый воздух к северному концу в течение необычно долгого времени. «Когда блок достигнет определенного места, он может принести много тепла и влажности на одну из сторон Гренландии, что может привести к таянию льда», - сказала она мне. Вот что произошло этой весной.
Отсюда получаем, что объём стального груза составляет V = T/(8ρ с g),
a его длина равна h = T/(8ρ с g 2) ≈ 0,32 м = 32 см.
5. Найти индуктивность цепи, изоб-
ражённой на рисунке. Индуктивности
всех катушек в схеме одинаковы и
равны L, индуктивностями соедини-
тельных проводов и влиянием катушек
друг на друга пренебречь.
Решение. Если на входные клеммы этой цепи подаётся перемен-
ное синусоидальное напряжение с круговой частотой ω, то индуктив-
ные сопротивления всех катушек будут одинаковы и равны ωL. При
этом правила сложения этих сопротивлений будут теми же, что и для
схемы, состоящей из резисторов, то есть при последовательном соедине-
нии складываются индуктивности, а при параллельном их обратные
величины.
Для расчёта индуктивности вначале перерисуем схему, например,
так, как показано на рисунке слева.
Поскольку все индуктивности одинаковы, то из соображений сим-
метрии следует, что потенциалы точек A и B в любой момент времени
будут совпадать. Поэтому можно замкнуть их проводником. Получим,
что катушки индуктивности L1 и L4 , L2 и L3 , L5 и L7 соединены парал-
лельно. Значит, схему можно теперь перерисовать так, как показано на
рисунке справа, и она будет состоять из катушек с индуктивностями
L/2 и L, соединённых последовательно и параллельно. Общая индук-
тивность такой схемы будет равна
1 1 7
Lобщ = = = L.
1 1 1 1 15
+ +
L L 1 L L 3L
+ +
2 1 1 2 8
+
L/2 1
L+
L/2
11
Городской этап. Первый теоретический тур
Состоялся 19 февраля 2006 года.
7 класс
На выполнение задания отводилось 3 астрономических часа.
1. Найдите примерную величину давления в центре Земли, считая,
что средняя плотность вещества земного шара равна ρ = 5000 кг/м3 .
Радиус Земли RЗ = 6400 км. Ускорение свободного падения на поверх-
ности Земли g = 10 м/с2 .
Решение. На глубине h под поверхностью жидкости давление равно
p = ρgh, где ρ её плотность, а g ускорение свободного падения. Но
мы не можем воспользоваться этой формулой для нахождения давления
в центре Земли, поскольку g не остаётся постоянным по мере продви-
жения вглубь Земли. Действительно, представим себе, что нам удалось
просверлить скважину до центра Земли. Ясно, что тело, опущенное
в неё до этого центра, будет со всех сторон одинаково притягиваться
веществом Земли и находиться в состоянии невесомости, то есть уско-
рение свободного падения постепенно уменьшается от значения 10 м/с2
на поверхности Земли до нуля в её центре. Поэтому в формулу для дав-
ления надо подставить среднее значение ускорения свободного падения,
равное g/2. Значит, величина давления в центре Земли примерно равна
p = ρgRЗ /2 ≈ 1,6 · 1011 Па = 1, 6 миллиона атмосфер!
Замечание. По современным представлениям, Земля состоит из
трёх основных слоёв тонкой коры, довольно толстой мантии (около
3000 км), сложенной из пород сравнительно небольшой плотности,
и тяжёлого (железного) ядра. Ускорение свободного падения также
довольно сложным образом зависит от глубины (см. задачу № 3 окруж-
ного этапа, стр. 7). С учётом этого расчёт даёт для давления в центре
Земли ещё б´льшую величину: pц ≈ 3,6 миллиона атмосфер!
o
2. Школьники побывали в музее-имении Л. Н. Толстого Ясная
поляна и возвращались в Рязань на автобусах, которые ехали со ско-
ростью v1 = 70 км/ч. Пошёл дождь, и водители снизили скорость до
v2 = 60 км/ч. Когда дождь кончился, до Рязани оставалось проехать
S = 40 км. Автобусы поехали со скоростью v3 = 75 км/ч и въехали в
Рязань в точно запланированное время. Сколько времени шёл дождь?
Чему равна средняя скорость автобуса? Для упрощения считайте, что
автобусы в пути не останавливались.
12
Решение. Средняя скорость автобуса это отношение пройденного
пути к затраченному времени. Так как расстояние от Ясной поляны
до Рязани из-за дождя не изменилось, и время, проведённое школьни-
ками в автобусе, также не изменилось (потому что автобусы въехали в
Рязань в точно запланированное время), то средняя скорость совпадает
с начальной скоростью vср = 70 км/ч.
Пусть дождь шёл в течение времени t. Тогда путь, пройденный за
это время, составил v2 t. Время, за которое после дождя автобусы про-
ехали оставшееся расстояние, равно S/v3 . Ясно, что время, затраченное
автобусами с момента начала дождя до прибытия в Рязань, должно
равняться времени, которое потребовалось бы для преодоления того же
расстояния с начальной скоростью v1:
S v2 t + S
t+ = .
v3 v1
Отсюда находим время, в течение которого шёл дождь:
v1 S S S(v3 − v1)
t= − = = 16 минут.
v1 − v2 v1 v3 v3 (v1 − v2)
3. Во льдах Арктики в центре небольшой плоской льдины площадью
S = 70 м2 стоит белый медведь массой m = 700 кг. При этом надводная
часть льдины выступает над поверхностью воды на высоту h = 10 см.
На какой глубине под водой находится нижняя поверхность льдины?
Плотность воды ρв = 1000 кг/м3 , плотность льда ρл = 900 кг/м3 .
Решение. Обозначим через x искомую глубину. Сила тяже-
сти, действующая на льдину с медведем, равна, очевидно, g(m +
ρл S(h + x)). Она должна равняться силе давления воды на ниж-
нюю поверхность льдины, находящуюся на глубине x, то есть ρв gxS,
поскольку льдина находится в состоянии равновесия. Отсюда получаем:
x = (m + ρл hS)/((ρв − ρл)S) = 1 м.
4. Провода над железной дорогой, питающие током электропоезда,
натягиваются с помощью системы, показанной на рисунке. Она кре-
пится к столбу и состоит из тросов, блоков с изоляторами и стального
груза квадратного сечения со стороной a = 20 см. Сила натяжения тол-
стого троса, который идёт от крайнего блока к держателю проводов,
равна T = 8 кН. Какова высота h стального груза? Плотность стали
равна ρс = 7800 кг/м3 . Ускорение свободного падения g = 10 м/с2 .
13
Решение. Легко видеть, что каждый блок, охваченный двумя
горизонтальными участками тросов, даёт выигрыш в силе в 2 раза.
Значит, три таких блока, изображённые на рисунке, дадут выиг-
рыш в 23 = 8 раз. Сила тяжести, действующая на груз, равна
ρс gV , где V = a2 h объём груза. Значит, сила натяжения толстого
троса будет в 8 раз больше: T = 8ρс gV . Отсюда получаем, что
объём стального груза составляет V = T /(8ρс g), a его длина равна
h = T /(8ρс ga2) ≈ 0,32 м = 32 см.
8 класс
На выполнение задания отводилось 3 астрономических часа.
1. Школьники побывали в селе Константиново, на родине Сергея Есе-
нина, и возвращались к себе домой в Рязань на автобусах. Авто-
бусы ехали со скоростью v1 = 70 км/ч. Пошёл дождь, и водители сни-
зили скорость до v2 = 50 км/ч. Когда дождь кончился, автобусы вновь
поехали с прежней скоростью и въехали в Рязань на 10 минут позже,
чем было запланировано. Сколько времени шёл дождь?
Решение. Сделаем рисунок и введём на нём следующие обозначе-
ния: К Константиново; R Рязань; AB участок, который автобус
проехал под дождём за искомое время t; AC участок, который про-
ехал бы автобус за то же время t, если бы не было дождя.
Ясно, что BC = AC − AB = (v1 − v2)t. С другой стороны, автобус
прошёл путь KA + AB + CR за то же время, за какое было заплани-
14
ровано пройти весь путь KR. Значит, BC = v1 ∆t, где ∆t = 10 минут
время, на которое опоздали автобусы. Приравнивая полученные выра-
жения, имеем: (v1 − v2)t = v1 ∆t, откуда t = v1 ∆t/(v1 − v2).
2. В двухлитровую пластиковую бутыль через короткий шланг накачи-
вается воздух до давления 2 атм. Шланг пережимается, и к нему присо-
единяется герметичный тонкостенный полиэтиленовый пакет большой
ёмкости (больше 10 литров) без воздуха внутри. Бутыль вместе с паке-
том кладут на одну чашку весов и уравновешивают гирями, которые
помещают на другую чашку, а затем зажим ослабляется. Воздух из
бутыли перетекает в пакет, и равновесие весов нарушается. Груз какой
массы и на какую чашку весов нужно положить, чтобы равновесие весов
восстановилось? Плотность воздуха равна 1,3 кг/м3 , ускорение свобод-
ного падения считать равным 10 м/с2 .
Решение. Суммарная масса воздуха внутри бутыли и пакета после
перетекания воздуха из бутыли в пакет не изменилась. Следовательно,
суммарная сила тяжести, действующая на обе оболочки и воздух
внутри них, осталась прежней. Однако изменился суммарный объём,
который занимают вместе бутыль и пакет, так как после ослабле-
ния зажима часть воздуха из бутыли перешла в пакет. Давление в
пакете стало равным 1 атм, значит, такое же давление установилось
и в бутыли. Воздух, который в бутыли занимал объём 2 л при дав-
лении 2 атм, теперь при давлении 1 атм занимает объём 4 л. Таким
образом, в пакете оказалось 2 литра воздуха, и суммарный объём уве-
личился на 2 литра. На бутыль и пакет со стороны воздуха действует
выталкивающая (Архимедова) сила. Приращение этой силы равно:
∆FА = 0,002 м3 · (1,3 кг/м3) · (10 м/с2) = 0,026 Н.
Таким образом, для того, чтобы равновесие весов восстановилось,
нужно на ту же чашку, где находится бутыль и пакет, добавить гирьки
суммарной массой М = ∆FА /g = 2,6 г.
3. В калориметре находится m = 100 г расплавленного металла гал-
лия при температуре его плавления tпл = 29,8 ◦ C. Его начали медленно
охлаждать, оберегая от внешних воздействий, и в результате темпера-
тура понизилась до t = 19,8 ◦ C, а галлий остался жидким. Когда пере-
охлаждённый таким образом жидкий галлий размешали палочкой, он
частично перешёл в твердое состояние. Найдите массу отвердевшего
галлия и установившуюся в калориметре температуру. Удельная теп-
лота плавления галлия λ = 80 кДж/кг, удельная теплоёмкость жидкого
галлия c = 410 Дж/(кг · ◦ C). Теплоёмкостью калориметра и палочки
пренебречь.
15
Решение. При отвердевании галлия выделяется теплота кристалли-
зации, что приводит к нагреванию системы до температуры плавления
галлия tпл = 29,8 ◦ C, поскольку только при этой температуре жидкий
и твёрдый галлий будут находиться в равновесии.
Количество теплоты, выделяющееся при отвердевании массы m1
галлия, равно λm1 . Оно идёт на нагревание всего галлия до темпера-
туры плавления; для этого требуется количество теплоты cm(tпл − t).
Следовательно, m1 = cm(tпл − t)/λ ≈ 5,1 г.
Заметим, что если бы переохлаждение было очень сильным, то теп-
лоты кристаллизации могло бы не хватить для нагревания всей массы
галлия до температуры плавления. Однако, поскольку m1 < m, то в
нашем случае галлий действительно нагреется до этой температуры.
9 класс
На выполнение задания отводилось 4 астрономических часа.
1. Цилиндр массой M поместили на рельсы,
наклоненные под углом α к горизонту (вид
сбоку показан на рисунке). Груз какой мини-
мальной массы m нужно прикрепить к намо-
танной на цилиндр нити, чтобы он покатился
вверх? Проскальзывание отсутствует.
Решение. На цилиндр действуют при-
ложенная к его центру сила тяжести M g
и приложенная к его краю сила натяже-
ния нити, равная mg. Цилиндр покатится
вверх, если момент силы тяжести относи-
тельно оси, проходящей через точку А пер-
пендикулярно плоскости рисунка, будет
меньше момента силы натяжения нити.
Поскольку плечи сил тяжести и натяже-
ния нити равны R sin α и R(1 − sin α), то искомое условие имеет вид:
M gR sin α < mgR(1 − sin α), или m > (M sin α)/(1 − sin α).
2. Алюминиевая проволока диаметром d = 2,5 мм, не слишком гну-
тая, покрыта льдом. Общий диаметр проволоки со льдом равен
D = 3,5 мм. Температура льда и проволоки t = 0 ◦ C. По проволоке
пустили ток силой I = 15 А. За какое время лёд растает? Плотность
льда ρл = 0,9 г/см3 , а его удельная теплота плавления λ = 340 кДж/кг.
Удельное сопротивление алюминия ρ = 2,8 · 10−8 Ом · м.
16
Решение. При прохождении тока через проволоку в ней выделя-
ется тепло, равное по закону Джоуля-Ленца Q = I 2 Rτ , где τ искомое
время таяния льда, а R сопротивление проволоки. Это сопротивление,
согласно известной формуле, равно R = ρl/S = 4ρl/πd2 (здесь l длина
проволоки, S площадь её поперечного сечения). Это количество теп-
лоты расходуется на плавление льда: Q = λm. Масса льда m равна
произведению его плотности на объём: m = ρл V = ρл (1/4)π(D2 − d2)l.
Приравнивая полученные выражения для количеств теплоты, окон-
чательно получаем: τ = λρл π 2 d2 (D2 − d2)/(16I 2 ρ) ≈ 19 мин.
3. Электрическая цепь состоит из
трёх резисторов с известными сопро-
тивлениями R1 = 20 Ом, R2 = 30 Ом,
R4 = 60 Ом, одного резистора с неиз-
вестным сопротивлением R3 и одного
переменного резистора (см. рис.) При
измерении сопротивления RАВ между
точками А и В этой электрической цепи выяснилось, что оно не
зависит от сопротивления переменного резистора. Найдите величины
сопротивлений неизвестного резистора R3 и всей цепи RАВ.
Решение. Идея решения заключается в том, что при условиях
задачи ток через переменный резистор не идёт, и напряжение на нём
равно нулю (в противном случае изменение сопротивления этого рези-
стора неизбежно приводило бы к изменению величины RАВ). Отсюда
вытекает, что напряжения U1 и U3 на резисторах R1 и R3 совпадают.
Так как
R1 R3
U1 = UAB · , U3 = UAB · ,
R1 + R2 R3 + R4
то отсюда R1 R4 = R2 R3 , и сопротивление неизвестного рези-
стора R3 = R1 R4 /R2 = 40 Ом. Сопротивление всей цепи можно
найти, пользуясь формулой для параллельного соединения резисторов:
1 1 1 (R1 + R2)R4
= + , откуда RAB = ≈ 33 Ом.
RAB R1 + R2 R3 + R4 R2 + R4
4. В секстанте, который позволяет определять угол ϕ возвышения
Солнца над горизонтом в полдень и, таким образом, широту местности,
используются два плоских зеркала, от которых свет поочерёдно отра-
жается и угол α между которыми регулируется. Изображение Солнца
в этих зеркалах при измерениях с помощью секстанта необходимо сов-
местить с линией горизонта, подбирая угол α. Найдите связь угла α с
17
углом ϕ и объясните, почему использование секстанта сильно упрощает
задачу нахождения угла ϕ, особенно при качке корабля.
Решение. Построим ход луча света от Солнца в секстанте при двух
отражениях света от плоских зеркал, угол между которыми равен α
(см. рис.). Обозначим вершину угла α точкой O, точки падения луча на
первое и второе зеркала A и B, точку пересечения перпендикуляров,
восставленных к зеркалам в точках A и B через C, точку пересечения
входящего в прибор и выходящего из него лучей через D. В момент
снятия показаний при правильном положении зеркал прямая BD гори-
зонтальна, а углы падения света на зеркала равны, соответственно, i1
и i2 . В четырёхугольнике AOBC два угла OBC и OAC прямые,
поэтому угол BCA равен (π − α), а смежный с ним равняется α. Но
этот же угол является внешним углом треугольника ABC, поэтому
α = i1 + i2 . В свою очередь, угол ϕ возвышения Солнца над горизон-
том равен углу BDA в треугольнике ABD, остальные углы которого
равны, соответственно, 2i1 и 2i2 . Поэтому ϕ = π − 2(i1 + i2) = π − 2α.
Таким образом, α = (π − ϕ)/2 и не зависит от угла падения света
на зеркала. Поэтому даже при качке корабля и изменении угла i1 луч
света от Солнца, выходящий из секстанта, сохраняет своё направление
(горизонтальное при правильном подборе угла α). При этом совместить
изображение Солнца с горизонтом гораздо проще, чем визировать на
угломерном инструменте сразу два направления на Солнце и на гори-
зонт, да ещё если всё качается!
18
10 класс
На выполнение задания отводилось 5 астрономических часов.
1. Однажды летним утром кузнечик сидел на асфальте. Когда Солнце
поднялось на угол ϕ над горизонтом, он прыгнул в сторону Солнца с
начальной скоростью v0 под углом α к горизонту. С какой скоростью
движется по асфальту тень кузнечика спустя время t после прыжка?
Решение. Направим ось X по горизонтали в сторону Солнца, ось
Y вертикально вверх, а начало координат поместим в точку, где сидел
кузнечик. Закон движения кузнечика имеет вид:
gt2 2v0 sin α
x(t) = v0 cos α · t, y(t) = v0 sin α · t − , причём 0
В столице Нуука июнь составлял 24 градуса Цельсия, что на 17 градусов выше средней температуры - было еще теплее, чем в тот же день в Нью-Йорке. Недавняя статья Марка Тедеско из обсерватории Ламонт-Доэрти в Колумбийском университете в целом согласуется с гипотезой Фрэнсиса о том, что изменения в Северном Арктике резко меняют погоду на юг. Тедеско смотрит на Арктику глазами системного инженера. Он сказал мне, что он пытается «закрыть петлю» и связать чрезвычайно сложные взаимодействия, которые контролируют климат северных терминалов: морской лед, атмосферу, циркуляцию океана и наземный лед.