В систему обработки информации сигналы поступают, как правило, в непрерывном виде. Для компьютерной обработки непрерывных сигналов необходимо, прежде всего, преобразовать их в цифровые. Для этого выполняются операции дискретизации и квантования.

Дискретизация изображений

Дискретизация – это преобразование непрерывного сигнала в последовательность чисел (отсчетов), то есть представление этого сигнала по какому-либо конечномерному базису. Это представление состоит в проектировании сигнала на данный базис.

Наиболее удобным с точки зрения организации обработки и естественным способом дискретизации является представление сигналов в виде выборки их значений (отсчетов) в отдельных, регулярно расположенных точках. Такой способ называют растрированием , а последовательность узлов, в которых берутся отсчеты – растром . Интервал, через который берутся значения непрерывного сигнала называется шагом дискретизации . Обратная шагу величина называется частотой дискретизации ,

Существенный вопрос, возникающий в ходе дискретизации: с какой частотой брать отсчеты сигнала для того, чтобы была возможность его обратного восстановления по этим отсчетам? Очевидно, что если брать отсчеты слишком редко, то в них не будет содержаться информация о быстро меняющемся сигнале. Скорость изменения сигнала характеризуется верхней частотой его спектра. Таким образом, минимально допустимая ширина интервала дискретизации связана с наибольшей частотой спектра сигнала (обратно пропорциональна ей).

Для случая равномерной дискретизации справедлива теорема Котельникова , опубликованная в 1933 году в работе “О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи”. Она гласит: если непрерывный сигнал имеет спектр, ограниченный частотой , то он может быть полностью и однозначно восстановлен по его дискретным отсчетам, взятым с периодом , т.е. с частотой .

Восстановление сигнала осуществляется при помощи функции . Котельниковым было доказано, что непрерывный сигнал, удовлетворяющий приведенным выше критериям, может быть представлен в виде ряда:

.

Эта теорема так же еще называется теоремой отсчетов. Функция называется еще функцией отсчетов или Котельникова , хотя интерполяционный ряд такого вида изучал еще Уитакер в 1915 году. Функция отсчетов имеет бесконечную протяженность по времени и достигает наибольшего значения, равного единице, в точке , относительно которой она симметрична.

Каждую из этих функций можно рассматривать как отклик идеального фильтра низких частот (ФНЧ) на дельта-импульс, пришедший в момент времени . Таким образом, для восстановления непрерывного сигнала из его дискретных отсчетов, их необходимо пропустить через соответствующий ФНЧ. Следует заметить, что такой фильтр является некаузальным и физически нереализуемым.

Приведенное соотношение означает возможность точного восстановления сигналов с ограниченным спектром по последовательности их отсчетов. Сигналы с ограниченным спектром – это сигналы, спектр Фурье которых отличен от нуля только в пределах ограниченного участка области определения. Оптические сигналы можно отнести к ним, т.к. спектр Фурье изображений, получаемых в оптических системах, ограничен из-за ограниченности размеров их элементов. Частоту называют частотой Найквиста . Это предельная частота, выше которой во входном сигнале не должно быть спектральных компонентов.

Квантование изображений

При цифровой обработке изображений непрерывный динамический диапазон значений яркости делится на ряд дискретных уровней. Эта процедура называется квантованием . Её суть заключается в преобразовании непрерывной переменной в дискретную переменную , принимающую конечное множество значений . Эти значения называются уровнями квантования . В общем случае преобразование выражается ступенчатой функцией (рис. 1). Если интенсивность отсчета изображения принадлежит интервалу (т.е., когда ) , то исходный отсчет заменяется на уровень квантования , где – пороги квантования . При этом полагается, что динамический диапазон значений яркости ограничен и равен .

Рис. 1. Функция, описывающая квантование

Основная задача при этом состоит в определении значений порогов и уровней квантования. Простейший способ решения этой задачи состоит в разбиении динамического диапазона на одинаковые интервалы. Однако такое решение не является наилучшим. Если значения интенсивности большинства отсчетов изображения сгруппированы, например, в "темной" области и число уровней ограничено, то целесообразно квантовать неравномерно. В "темной" области следует квантовать чаще, а в "светлой" реже. Это позволит уменьшить ошибку квантования.

В системах цифровой обработки изображений стремятся уменьшить число уровней и порогов квантования, так как от их количества зависит объем информации, необходимый для кодирования изображения. Однако при относительно небольшом числе уровней на квантованном изображении возможно появление ложных контуров. Они возникают вследствие скачкообразного изменения яркости проквантованного изображения и особенно заметны на пологих участках ее изменения. Ложные контуры значительно ухудшают визуальное качество изображения, так как зрение человека особенно чувствительно именно к контурам. При равномерном квантовании типичных изображений требуется не менее 64 уровней.

Алгоритм уплотнения, обеспечивающий очень высокое качество изображения при коэффициенте уплотнения данных более 25:1. Полноцветное 24 разрядное изображение с разрешением 640 x 480 точек (стандарт VGA) обычно требует для своего хранения видеоОЗУ… …

Дискретное вейвлет-преобразование - Пример 1 го уровня дискретного вейвлет преобразования изображения. Вверху оригинальное полноцветное изображение, в середине вейвлет преобразование, сделанное по горизонтали исходного изображения (только канал яркости), внизу вейвлет… … Википедия

RASTER - растр - дискретное изображение, представленное в виде матрицы [из] пикселов … Словарь электронного бизнеса

компьютерная графика - визуализация изображения информации на экране дисплея (монитора). В отличие от воспроизведения изображения на бумаге или ином носителе, изображение, созданное на экране, можно почти немедленно стереть или (и) подправить, сжать или растянуть,… … Энциклопедический словарь

растр - Дискретное изображение, представленное в виде матрицы пикселов на экране или бумажном носителе. Растр характеризуется разрешающей способностью количеством пикселов на единицу длины, размером, глубиной цвета и др. Примеры сочетаний: density… … Справочник технического переводчика

таблица - ▲ массив двумерный таблица двумерный массив; дискретное изображение функции двух переменных; информационная решетка. матрица. табель. | табулирование. строка. строчка. столбец. столбик. колонка. графа. графить. разграфить. ▼ график … Идеографический словарь русского языка

Преобразование Лапласа - Преобразование Лапласа интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией вещественного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются… … Википедия

Лапласа преобразование

Обратное преобразование Лапласа - Преобразование Лапласа интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией действительного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и … Википедия

ГОСТ Р 52210-2004: Телевидение вещательное цифровое. Термины и определения - Терминология ГОСТ Р 52210 2004: Телевидение вещательное цифровое. Термины и определения оригинал документа: 90 (телевизионный) демультиплексор: Устройство, предназначенное для разделения объединенных потоков данных цифрового телевизионного… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Сжатие видео - (англ. Video compression) уменьшение количества данных, используемых для представления видеопотока. Сжатие видео позволяет эффективно уменьшать поток, необходимый для передачи видео по каналам радиовещания, уменьшать пространство,… … Википедия

Цифровая фотография или иное растровое изображение представляет собой массив чисел, зафиксированных сенсорами уровней яркости, в двумерной плоскости. Зная что с математической точки зрения тонкая линза выполняет преобразование Фурье изображений, размещённых в фокальных плоскостях, можно создать алгоритмы обработки изображений, являющихся аналогами обработки изображений классической оптической системой.

Формула таких алгоритмов будет выглядеть следующим образом:

1. Z=FFT(X) – прямое двухмерное преобразование Фурье
2. Z′=T(Z) – применение функции или транспаранта к Фурье-образу изображения
3. Y=BFT(Z′) – обратное двухмерное преобразование Фурье

Для вычисления преобразований Фурье используются алгоритмы быстрого дискретного преобразования Фурье. Хотя оптическая система линз осуществляет преобразование Фурье на непрерывном диапазоне аргумента и для непрерывного спектра, но при переходе к цифровой обработке данных формулы преобразования Фурье могут быть заменены на формулы дискретного преобразования Фурье.

Примеры реализации

• Алгоритм размытия изображения

Реализованные алгоритмы являются частью библиотеки с открытым исходным кодом FFTTools. Интернет-адрес: github.com/dprotopopov/FFTTools

Алгоритм размытия изображения

В оптических системах диафрагма, размещённая в фокальной плоскости, представляет собой простое отверстие в экране. В результате прохождения светового потока через диафрагму, волны высоких частот (с более короткими длинами волн) проходят через препятствие, а волны низких частот (с более длинными длинами волн) отсекаются экраном. Таким образом повышается резкость получаемого изображения. Если заменить отверстие в экране на препятствие в экране, то в результате будет получено размытое изображение, поскольку оно будет сформировано из частот волн больших длин.

Алгоритм:

1. Вычислить массив Z′=T(Z), где T – обнуление строк и столбцов, находящихся в заданных внутренних областях матрицы-аргумента соответствующих высоким 5. частотам (то есть обнуление коэффициентов Фурье-разложения, соответствующих высоким частотам)

Алгоритм повышения резкости изображения

В оптических системах диафрагма, размещённая в фокальной плоскости, представляет собой простое отверстие в экране. В результате прохождения светового потока через диафрагму, волны высоких частот (с более короткими длинами волн) проходят через препятствие, а волны низких частот (с более длинными длинами волн) отсекаются экраном. Таким образом повышается резкость получаемого изображения.

Алгоритм:

1. Пусть X(N1,N2) – массив яркостей пикселей изображения.
2. Вычислить Px = средняя (среднеквадратичная) яркость пикселей в массиве X
3. Вычислить массив Z=FT(X) – прямое двухмерное дискретное преобразование Фурье
4. Сохранить значение L=Z(0,0) – соответствующее средней яркости пикселей исходного изображения
5. Вычислить массив Z′=T(Z), где T – обнуление строк и столбцов, находящихся в заданных внешних областях матрицы-аргумента, соответствующих низким 6. частотам (то есть обнуление коэффициентов Фурье-разложения, соответствующих низким частотам)
6. Восстановить значение Z’(0,0)=L – соответствующее средней яркости пикселей исходного изображения
7. Вычислить массив Y=RFT(Z′) – обратное двухмерное дискретное преобразование Фурье
8. Вычислить Py = средняя (среднеквадратичная) яркость пикселей в массиве Y
9. Нормировать массив Y(N1,N2) по среднему уровню яркости Px/Py

Алгоритм масштабирования изображения

В оптических системах световой поток в фокальной плоскости системы представляет собой Фурье-преобразование исходного изображения. Размер получаемого на выходе оптической системы изображения определяется соотношением фокальных расстояний объектива и окуляра.

Алгоритм:

1. Пусть X(N1,N2) – массив яркостей пикселей изображения.
2. Вычислить Px = средняя (среднеквадратичная) яркость пикселей в массиве X
3. Вычислить массив Z=FT(X) – прямое двухмерное дискретное преобразование Фурье
4. Вычислить массив Z′=T(Z), где T – либо добавление нулевых строк и столбцов матрицы соответствующих высоким частотам, либо удаление строк и столбцов матрицы соответствующих высоким частотам для получения требуемого размера итогового изображения
5. Вычислить массив Y=RFT(Z′) – обратное двухмерное дискретное преобразование Фурье
6. Вычислить Py = средняя (среднеквадратичная) яркость пикселей в массиве Y
7. Нормировать массив Y(M1,M2) по среднему уровню яркости Px/Py

Используемое программное обеспечение

• Microsoft Visual Studio 2013 C# - среда и язык программирования
• EmguCV/OpenCV – C++ библиотека структур и алгоритмов для обработки изображений
• FFTWSharp/FFTW – C++ библиотека реализующая алгоритмы быстрого дискретного преобразования Фурье

Алгоритм размытия изображения

Код алгоритма

///

/// Clear internal region of array ///

/// Array of values /// Internal blind region size private static void Blind(Complex[,] data, Size size) { int n0 = data.GetLength(0); int n1 = data.GetLength(1); int n2 = data.GetLength(2); int s0 = Math.Max(0, (n0 - size.Height)/2); int s1 = Math.Max(0, (n1 - size.Width)/2); int e0 = Math.Min((n0 + size.Height)/2, n0); int e1 = Math.Min((n1 + size.Width)/2, n1); for (int i = s0; i < e0; i++) { Array.Clear(data, i*n1*n2, n1*n2); } for (int i = 0; i < s0; i++) { Array.Clear(data, i*n1*n2 + s1*n2, (e1 - s1)*n2); } for (int i = e0; i < n0; i++) { Array.Clear(data, i*n1*n2 + s1*n2, (e1 - s1)*n2); } } ///

/// Blur bitmap with the Fastest Fourier Transform ///

/// Blured bitmap public Bitmap Blur(Bitmap bitmap) { using (var image = new Image(bitmap)) { int length = image.Data.Length; int n0 = image.Data.GetLength(0); int n1 = image.Data.GetLength(1); int n2 = image.Data.GetLength(2); var doubles = new double; Buffer.BlockCopy(image.Data, 0, doubles, 0, length*sizeof (double)); double power = Math.Sqrt(doubles.Average(x => x*x)); var input = new fftw_complexarray(doubles.Select(x => new Complex(x, 0)).ToArray()); var output = new fftw_complexarray(length); fftw_plan.dft_3d(n0, n1, n2, input, output, fftw_direction.Forward, fftw_flags.Estimate).Execute(); Complex complex = output.GetData_Complex(); var data = new Complex; var buffer = new double; GCHandle complexHandle = GCHandle.Alloc(complex, GCHandleType.Pinned); GCHandle dataHandle = GCHandle.Alloc(data, GCHandleType.Pinned); IntPtr complexPtr = complexHandle.AddrOfPinnedObject(); IntPtr dataPtr = dataHandle.AddrOfPinnedObject(); Marshal.Copy(complexPtr, buffer, 0, buffer.Length); Marshal.Copy(buffer, 0, dataPtr, buffer.Length); Blind(data, _blinderSize); Marshal.Copy(dataPtr, buffer, 0, buffer.Length); Marshal.Copy(buffer, 0, complexPtr, buffer.Length); complexHandle.Free(); dataHandle.Free(); input.SetData(complex); fftw_plan.dft_3d(n0, n1, n2, input, output, fftw_direction.Backward, fftw_flags.Estimate).Execute(); double array2 = output.GetData_Complex().Select(x => x.Magnitude).ToArray(); double power2 = Math.Sqrt(array2.Average(x => x*x)); doubles = array2.Select(x =>

Алгоритм повышения резкости изображения

Код алгоритма

///

/// Clear external region of array ///

/// Array of values /// External blind region size private static void Blind(Complex[,] data, Size size) { int n0 = data.GetLength(0); int n1 = data.GetLength(1); int n2 = data.GetLength(2); int s0 = Math.Max(0, (n0 - size.Height)/2); int s1 = Math.Max(0, (n1 - size.Width)/2); int e0 = Math.Min((n0 + size.Height)/2, n0); int e1 = Math.Min((n1 + size.Width)/2, n1); for (int i = 0; i < s0; i++) { Array.Clear(data, i*n1*n2, s1*n2); Array.Clear(data, i*n1*n2 + e1*n2, (n1 - e1)*n2); } for (int i = e0; i < n0; i++) { Array.Clear(data, i*n1*n2, s1*n2); Array.Clear(data, i*n1*n2 + e1*n2, (n1 - e1)*n2); } } ///

/// Sharp bitmap with the Fastest Fourier Transform ///

/// Sharped bitmap public Bitmap Sharp(Bitmap bitmap) { using (var image = new Image(bitmap)) { int length = image.Data.Length; int n0 = image.Data.GetLength(0); int n1 = image.Data.GetLength(1); int n2 = image.Data.GetLength(2); var doubles = new double; Buffer.BlockCopy(image.Data, 0, doubles, 0, length*sizeof (double)); double power = Math.Sqrt(doubles.Average(x => x*x)); var input = new fftw_complexarray(doubles.Select(x => new Complex(x, 0)).ToArray()); var output = new fftw_complexarray(length); fftw_plan.dft_3d(n0, n1, n2, input, output, fftw_direction.Forward, fftw_flags.Estimate).Execute(); Complex complex = output.GetData_Complex(); Complex level = complex; var data = new Complex; var buffer = new double; GCHandle complexHandle = GCHandle.Alloc(complex, GCHandleType.Pinned); GCHandle dataHandle = GCHandle.Alloc(data, GCHandleType.Pinned); IntPtr complexPtr = complexHandle.AddrOfPinnedObject(); IntPtr dataPtr = dataHandle.AddrOfPinnedObject(); Marshal.Copy(complexPtr, buffer, 0, buffer.Length); Marshal.Copy(buffer, 0, dataPtr, buffer.Length); Blind(data, _blinderSize); Marshal.Copy(dataPtr, buffer, 0, buffer.Length); Marshal.Copy(buffer, 0, complexPtr, buffer.Length); complexHandle.Free(); dataHandle.Free(); complex = level; input.SetData(complex); fftw_plan.dft_3d(n0, n1, n2, input, output, fftw_direction.Backward, fftw_flags.Estimate).Execute(); double array2 = output.GetData_Complex().Select(x => x.Magnitude).ToArray(); double power2 = Math.Sqrt(array2.Average(x => x*x)); doubles = array2.Select(x => x*power/power2).ToArray(); Buffer.BlockCopy(doubles, 0, image.Data, 0, length*sizeof (double)); return image.Bitmap; } }

Алгоритм масштабирования изображения

Код алгоритма

///

/// Copy arrays ///

/// Input array /// Output array private static void Copy(Complex[,] input, Complex[,] output) { int n0 = input.GetLength(0); int n1 = input.GetLength(1); int n2 = input.GetLength(2); int m0 = output.GetLength(0); int m1 = output.GetLength(1); int m2 = output.GetLength(2); int ex0 = Math.Min(n0, m0)/2; int ex1 = Math.Min(n1, m1)/2; int ex2 = Math.Min(n2, m2); Debug.Assert(n2 == m2); for (int k = 0; k < ex2; k++) { for (int i = 0; i <= ex0; i++) { for (int j = 0; j <= ex1; j++) { int ni = n0 - i - 1; int nj = n1 - j - 1; int mi = m0 - i - 1; int mj = m1 - j - 1; output = input; output = input; output = input; output = input; } } } } ///

/// Resize bitmap with the Fastest Fourier Transform ///

/// Resized bitmap public Bitmap Stretch(Bitmap bitmap) { using (var image = new Image(bitmap)) { int length = image.Data.Length; int n0 = image.Data.GetLength(0); int n1 = image.Data.GetLength(1); int n2 = image.Data.GetLength(2); var doubles = new double; Buffer.BlockCopy(image.Data, 0, doubles, 0, length*sizeof (double)); double power = Math.Sqrt(doubles.Average(x => x*x)); var input = new fftw_complexarray(doubles.Select(x => new Complex(x, 0)).ToArray()); var output = new fftw_complexarray(length); fftw_plan.dft_3d(n0, n1, n2, input, output, fftw_direction.Forward, fftw_flags.Estimate).Execute(); Complex complex = output.GetData_Complex(); using (var image2 = new Image(_newSize)) { int length2 = image2.Data.Length; int m0 = image2.Data.GetLength(0); int m1 = image2.Data.GetLength(1); int m2 = image2.Data.GetLength(2); var complex2 = new Complex; var data = new Complex; var data2 = new Complex; var buffer = new double; GCHandle complexHandle = GCHandle.Alloc(complex, GCHandleType.Pinned); GCHandle dataHandle = GCHandle.Alloc(data, GCHandleType.Pinned); IntPtr complexPtr = complexHandle.AddrOfPinnedObject(); IntPtr dataPtr = dataHandle.AddrOfPinnedObject(); Marshal.Copy(complexPtr, buffer, 0, buffer.Length); Marshal.Copy(buffer, 0, dataPtr, buffer.Length); complexHandle.Free(); dataHandle.Free(); Copy(data, data2); buffer = new double; complexHandle = GCHandle.Alloc(complex2, GCHandleType.Pinned); dataHandle = GCHandle.Alloc(data2, GCHandleType.Pinned); complexPtr = complexHandle.AddrOfPinnedObject(); dataPtr = dataHandle.AddrOfPinnedObject(); Marshal.Copy(dataPtr, buffer, 0, buffer.Length); Marshal.Copy(buffer, 0, complexPtr, buffer.Length); complexHandle.Free(); dataHandle.Free(); var input2 = new fftw_complexarray(complex2); var output2 = new fftw_complexarray(length2); fftw_plan.dft_3d(m0, m1, m2, input2, output2, fftw_direction.Backward, fftw_flags.Estimate).Execute(); double array2 = output2.GetData_Complex().Select(x => x.Magnitude).ToArray(); double power2 = Math.Sqrt(array2.Average(x => x*x)); double doubles2 = array2.Select(x => x*power/power2).ToArray(); Buffer.BlockCopy(doubles2, 0, image2.Data, 0, length2*sizeof (double)); return image2.Bitmap; } } }

Дискретизация изображения.

Рассмотрим непрерывное изображение – функцию двух пространственных переменных x 1 и x 2 f (x 1 , x 2) на ограниченной прямоугольной области (рисунок 3.1).

Рисунок 3.1 – Переход от непрерывного изображения к дискретному

Введем понятие шага дискретизации Δ 1 по пространственной переменной x 1 и Δ 2 по переменной x 2 . Например, можно представить, что в точках, удаленных друг от друга на расстояние Δ 1 по оси x 1 расположены точечные видеодатчики. Если такие видеодатчики установить по всей прямоугольной области, то изображение окажется заданным на двумерной решетке

Для сокращения записи обозначим

Функция f (n 1 , n 2) является функцией двух дискретных переменных и называется двумерной последовательностью. То есть дискретизация изображения по пространственным переменным переводит его в таблицу выборочных значений. Размерность таблицы (число строк и столбцов) определяется геометрическими размерами исходной прямоугольной области и выбором шага дискретизации по формуле

Где квадратные скобки […] обозначают целую часть числа.

Если область определения непрерывного изображения - квадрат L 1 = L 2 = L, и шаг дискретизации выбран одинаковым по осям x 1 и x 2 (Δ 1 = Δ 2 = Δ), то

и размерность таблицы составляет N 2 .

Элемент таблицы, полученной путем дискретизации изображения, называют «пиксель» или «отсчет» . Рассмотрим пиксель f (n 1 , n 2). Это число принимает непрерывные значения. Память компьютера способна хранить только дискретные числа. Поэтому для записи в памяти непрерывная величина f должна быть подвергнута аналогово-цифровому преобразованию с шагом Df (см. рисунок 3.2).

Рисунок 3.2 – Квантование непрерывной величины

Операцию аналого-цифрового преобразования (дискретизации непрерывной величины по уровню) часто называют квантованием . Число уровней квантования, при условии, что значения функции яркости лежат в интервале _____ _ ____ ___, равно

В практических задачах обработки изображений величина Q варьируется в широких пределах от Q = 2 («бинарные» или «черно-белые» изображения) до Q = 210 и более (практически непрерывные значения яркости). Наиболее часто выбираются Q = 28, при этом пиксель изображения кодируется одним байтом цифровых данных. Из всего вышеуказанного делаем вывод, что пиксели, хранящиеся в памяти компьютера, представляют собой результат дискретизации исходного непрерывного изображения по аргументам (координатам?) и по уровням. (Где и сколько, и всё дискретно) Ясно, что шаги дискретизации Δ 1 , Δ 2 должны выбираться достаточно малыми, для того, чтобы погрешность дискретизации была незначительна, и цифровое представление сохраняло основную информацию об изображении.

При этом следует помнить, что чем меньше шаг дискретизации и квантования, тем больший объем данных об изображении должен быть записан в память компьютера. Рассмотрим в качестве иллюстрации этого утверждения изображение на слайде размером 50×50 мм, которое вводится в память с помощью цифрового измерителя оптической плотности (микроденситометра). Если при вводе линейное разрешение микроденситометра (шаг дискретизации по пространственным переменным) составляет 100 микрон, то в память записывается двумерный массив пикселей размерности N 2 = 500×500 = 25∙10 4 . Если же шаг уменьшить до 25 микрон, то размеры массива возрастут в 16 раз и составят N 2 = 2000×2000 = 4∙10 6 . Используя квантование по 256 уровням, то есть кодируя найденный пиксель байтом, получаем, что в первом случае для записи необходим объем 0,25 мегабайт памяти, а во втором случае 4 мегабайта.

В предыдущей главе мы изучали линейные пространственно-инвариантные системы в непрерывной двумерной области. На практике мы имеем дело с изображениями, которые имеют ограниченные размеры и в то же время отсчитываются в дискретном наборе точек. Поэтому методы, разработанные до сих пор, необходимо приспособить, расширить и модифицировать так, чтобы их можно было применить и в такой области. Возникает также и несколько новых моментов, требующих аккуратного рассмотрения.

Теорема отсчетов говорит о том, при каких условиях по дискретному набору значений можно точно восстановить непрерывное изображение. Мы также узнаем, что происходит, когда условия ее применимости не выполняются. Все это имеет прямое отношение к разработке зрительных систем.

Методы, требующие перехода к частотной области, стали популярными частично благодаря алгоритмам быстрого вычисления дискретного преобразования Фурье. Однако нужно соблюдать осторожность, поскольку эти методы предполагают наличие периодического сигнала. Мы обсудим, как можно удовлетворить этому требованию и к чему приводит его нарушение.

7.1. Ограничение размеров изображения

На практике изображения всегда имеют конечные размеры. Рассмотрим прямоугольное изображение шириной и высотой Я. Теперь нет необходимости брать интегралы в преобразовании Фурье в бесконечных пределах:

Любопытно, что для восстановления функции нам необязательно знать на всех частотах. Знание того, что при представляет собой жесткое ограничение. Иными словами, функция, отличная от нуля только в ограниченной области плоскости изображения, содержит гораздо меньше информации, чем функция, не обладающая этим свойством.

Чтобы в этом убедиться, представим, что плоскость экрана покрыта копиями заданного изображения. Иными словами, мы расширяем наше изображение до периодической в обоих направлениях функции

Здесь - наибольшее целое число, не превосходящее х. Преобразование Фурье такого размноженного изображения имеет вид

С помощью подходящим образом подобранных множителей сходимости в упр. 7.1 доказывается, что

Следовательно,

откуда мы видим, что равна нулю всюду, кроме дискретного набора частот Таким образом, чтобы найти нам достаточно знать в этих точках. Однако функция получается из простым отсечением участка, для которого . Поэтому, чтобы восстановить нам достаточно знать лишь для всех Это - счетное множество чисел.

Обратите внимание на то, что преобразование периодической функции оказывается дискретным. Обратное преобразование можно представить в виде ряда, поскольку