Предел функции. Найти предел функции в точке. Пределы монотонных функций
Этот математический калькулятор онлайн поможет вам если нужно вычислить предел функции . Программа решения пределов не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями , т.е. отображает процесс вычисления предела.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Введите выражение функцииВычислить предел
Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .
Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...
Если вы заметили ошибку в решении
, то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу
вы решаете и что вводите в поля
.
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Немного теории.
Предел функции при х->х 0
Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X и пусть точка \(x_0 \in X \) или \(x_0 \notin X \)
Возьмем из X последовательность точек, отличных от х 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
сходящуюся к х*. Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
и можно ставить вопрос о существовании ее предела.
Определение . Число А называется пределом функции f(х) в точке х = х 0 (или при х -> x 0), если для любой сходящейся к x 0 последовательности (1) значений аргумента x, отличных от x 0 соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к числу A.
$$ \lim_{x\to x_0}{ f(x)} = A $$
Функция f(x) может иметь в точке x 0 только один предел. Это следует из того, что последовательность
{f(x n)}
имеет только один предел.
Существует другое определение предела функции.
Определение
Число А называется пределом функции f(x) в точке х = x 0 , если для любого числа \(\varepsilon > 0 \)
существует число \(\delta > 0 \) такое, что для всех \(x \in X, \; x \neq x_0 \), удовлетворяющих неравенству \(|x-x_0| Используя логические символы, это определение можно записать в виде
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Отметим, что неравенства \(x \neq x_0, \; |x-x_0| Первое определение основано на понятии предела числовой последовательности, поэтому его часто называют определением
«на языке последовательностей». Второе определение называют определением «на языке \(\varepsilon - \delta \)».
Эти два определения предела функции эквивалентны и можно использовать любое из них в зависимости от того, какое более
удобно при решении той или иной задачи.
Заметим, что определение предела функции «на языке последовательностей» называют также определением предела функции по Гейне, а определение предела функции «на языке \(\varepsilon - \delta \)» - определением предела функции по Коши.
Предел функции при x->x 0 - и при x->x 0 +
В дальнейшем будут использованы понятия односторонних пределов функции, которые определяются следующим образом.
Определение Число А называется правым (левым) пределом функции f(x) в точке x 0 , если для любой сходящейся к x 0 последовательности (1), элементы x n которой больше (меньше) x 0 , соответствующая последовательность (2) сходится к А.
Символически это записывается так:
$$ \lim_{x \to x_0+} f(x) = A \; \left(\lim_{x \to x_0-} f(x) = A \right) $$
Можно дать равносильное определение односторонних пределов функции «на языке \(\varepsilon - \delta \)»:
Определение
число А называется правым (левым) пределом функции f(х) в точке x 0 , если для любого
\(\varepsilon > 0 \) существует \(\delta > 0 \) такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенствам
\(x_0
Символические записи:
Доказывая свойства предела функции, мы убедились, что от проколотых окрестностей, в которых были определены наши функции и которые возникали в процессе доказательств, кроме свойств указанных во введении к предыдущему пункту 2, действительно ничего не потребовалось. Это обстоятельство служит оправданием для выделения следующего математического объекта.
а. База; определение и основные примеры
Определение 11. Совокупность В подмножеств множества X будем называть базой в множестве X, если выполнены два условия:
Иными словами, элементы совокупности В суть непустые множества и в пересечении любых двух из них содержится некоторый элемент из той же совокупности.
Укажем некоторые наиболее употребительные в анализе базы.
Если то вместо пишут и говорят, что х стремится к а справа или со стороны больших значений (соответственно, слева или со стороны меньших значений). При принята краткая запись вместо
Запись будет употребляться вместо Она означает, что а; стремится по множеству Е к а, оставаясь больше (меньше), чем а.
то вместо пишут и говорят, что х стремится к плюс бесконечности (соответственно, к минус бесконечности).
Запись будет употребляться вместо
При вместо мы (если это не ведет к недоразумению) будем, как это принято в теории предела последовательности, писать
Заметим, что все перечисленные базы обладают той особенностью, что пересечение любых двух элементов базы само является элементом этой базы, а не только содержит некоторый элемент базы. С другими базами мы встретимся при изучении функций, заданных не на числовой оси.
Отметим также, что используемый здесь термин «база» есть краткое обозначение того, что в математике называется «базисом фильтра», а введенный ниже предел по базе есть наиболее существенная для анализа часть созданного современным французским математиком А. Картаном понятия предела по фильтру
b. Предел функции по базе
Определение 12. Пусть - функция на множестве X; В - база в X. Число называется пределом функции по базе В, если для любой окрестности точки А найдется элемент базы, образ которого содержится в окрестности
Если А - предел функции по базе В, то пишут
Повторим определение предела по базе в логической символике:
Поскольку мы сейчас рассматриваем функции с числовыми значениями, полезно иметь в виду и следующую форму этого основного определения:
В этой формулировке вместо произвольной окрестности V (А) берется симметричная (относительно точки А) окрестность (е-окрестность). Эквивалентность этих определений для вещественнозначных функций вытекает из того, что, как уже говорилось, в любой окрестности точки содержится некоторая симметричная окрестность этой же точки (проведите доказательство полностью!).
Мы дали общее определение предела функции по базе. Выше были рассмотрены примеры наиболее употребительных в анализе баз. В конкретной задаче, где появляется та или иная из этих баз, необходимо уметь расшифровать общее определение и записать его для конкретной базы.
Рассматривая примеры баз, мы, в частности, ввели понятие окрестности бесконечности. Если использовать это понятие, то в соответствии с общим определением предела разумно принять следующие соглашения:
или, что то же самое,
Обычно под подразумевают малую величину. В приведенных определениях это, разумеется, не так. В соответствии с принятыми соглашениями, например, можем записать
Для того чтобы можно было считать доказанными и в общем случае предела по произвольной базе все те теоремы о пределах, которые мы доказали в пункте 2 для специальной базы , необходимо дать соответствующие определения: финально постоянной, финально ограниченной и бесконечно малой при данной базе функций.
Определение 13. Функция называется финально постоянной при базе В, если существуют число и такой элемент базы, в любой точке которого
В данный же момент основная польза от сделанного наблюдения и введенного в связи с ним понятия базы состоит в том, что они избавляют нас от проверок и формальных доказательств теорем о пределах для каждого конкретного вида предельных переходов или, в нашей нынешней терминологии, для каждого конкретного вида баз.
Для того чтобы окончательно освоиться с понятием предела по произвольной базе, доказательства дальнейших свойств предела функции мы проведем в общем виде.
Предел функции - число a будет пределом некоторой изменяемой величины, если в процессе своего изменения эта переменная величина неограниченно приближается к a .
Или другими словами, число A является пределом функции y = f (x) в точке x 0 , если для всякой последовательности точек из области определения функции , не равных x 0 , и которая сходится к точке x 0 (lim x n = x0) , последовательность соответствующих значений функции сходится к числу A .
График функции, предел которой при аргументе, который стремится к бесконечности, равен L :
Значение А является пределом (предельным значением) функции f (x) в точке x 0 в случае, если для всякой последовательности точек , которая сходится к x 0 , но которая не содержит x 0 как один из своих элементов (т.е. в проколотой окрестности x 0 ), последовательность значений функции сходится к A .
Предел функции по Коши.
Значение A будет являться пределом функции f (x) в точке x 0 в случае, если для всякого вперёд взятого неотрицательного числа ε будет найдено соответствующее ему неотрицательно число δ = δ(ε) такое, что для каждого аргумента x , удовлетворяющего условию 0 < | x - x0 | < δ , будет выполнено неравенство | f (x) A | < ε .
Будет очень просто, если вы понимаете суть предела и основные правила нахождения его. То, что предел функции f (x) при x стремящемся к a равен A , записывается таким образом:
Причем значение, к которому стремится переменная x , может быть не только числом, но и бесконечностью (∞), иногда +∞ или -∞, либо предела может вообще не быть.
Чтоб понять, как находить пределы функции , лучше всего посмотреть примеры решения.
Необходимо найти пределы функции f (x) = 1/ x при:
x → 2, x → 0, x → ∞.
Найдем решение первого предела. Для этого можно просто подставить вместо x число, к которому оно стремится, т.е. 2, получим:
Найдем второй предел функции . Здесь подставлять в чистом виде 0 вместо x нельзя, т.к. делить на 0 нельзя. Но мы можем брать значения, приближенные к нулю, к примеру, 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 и так далее, причем значение функции f (x) будет увеличиваться: 100; 1000; 10000; 100000 и так далее. Т.о., можно понять, что при x → 0 значение функции, которая стоит под знаком предела, будет неограниченно возрастать, т.е. стремиться к бесконечности. А значит:
Касаемо третьего предела. Такая же ситуация, как и в прошлом случае, невозможно подставить ∞ в чистом виде. Нужно рассмотреть случай неограниченного возрастания x . Поочередно подставляем 1000; 10000; 100000 и так далее, имеем, что значение функции f (x) = 1/ x будет убывать: 0,001; 0,0001; 0,00001; и так далее, стремясь к нулю. Поэтому:
Необходимо вычислить предел функции
Приступая к решению второго примера, видим неопределенность . Отсюда находим старшую степень числителя и знаменателя - это x 3 , выносим в числителе и знаменателе его за скобки и далее сокращаем на него:
Ответ
Первым шагом в нахождении этого предела , подставим значение 1 вместо x , в результате чего имеем неопределенность . Для её решения разложим числитель на множители , сделаем это методом нахождения корней квадратного уравнения x 2 + 2 x - 3 :
D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16 → √ D = √16 = 4
x 1,2 = (-2 ± 4) / 2 → x 1 = -3; x 2 = 1.
Таким образом, числитель будет таким:
Ответ
Это определение его конкретного значения или определенной области, куда попадает функция, которая ограничена пределом.
Чтобы решить пределы, следуйте правилам:
Разобравшись в сути и основных правилах решения предела , вы получите базовое понятие о том, как их решать.
Пусть функция у=ƒ (х) определена в некоторой окрестности точки х о, кроме, быть может, самой точки х о.
Сформулируем два, эквивалентных между собой, определения предела функции в точке.
Определение 1 (на «языке последовательностей», или по Гейне).
Число А называется пределом функции у=ƒ(х) в топке x 0 (или при х® х о), если для любой последовательности допустимых значений аргумента x n , n є N (x n ¹ x 0), сходящейся к х о последовательность соответствующих значений функции ƒ(х n), n є N, сходится к числу А
В этом случае пишут
или ƒ(х)->А при х→х о. Геометрический смысл предела функции:
означает,
что для всех точек х, достаточно близких к точке х о, соответствующие
значения функции как угодно мало отличаются от числа А.
Определение 2 (на «языке ε», или по Коши).
Число А называется пределом функции в точке х о (или при х→х о), если для любого положительного ε найдется такое положительное число δ, что для все х¹ х о, удовлетворяющих неравенству |х-х о |<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε.
Геометрический смысл предела функции:
если для любой ε-окрестности точки А найдется такая δ-окрестность точки х о, что для всех х¹ хо из етой δ-окрестность соответствующие значения функции ƒ(х) лежат в ε-окрестности точки А. Иными словами, точки графика функции у=ƒ(х) лежат внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми у=А+ ε , у=А-ε (см. рис. 110). Очевидно, что величина δ зависит от выбора ε, поэтому пишут δ=δ(ε).
<< Пример 16.1
Доказать, что
Решение: Возьмем произвольное ε>0, найдем δ=δ(ε)>0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству |х-3| < δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε, т. е. |х-3|<ε.
Взяв δ=ε/2, видим, что для всех х, удовлетворяющих неравенству |х-3|< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε. Следовательно, lim(2x-1)=5 при х –>3.
<< Пример 16.2
16.2. Односторонние пределы
В определении предела функции считается, что х стремится к x 0 любым способом: оставаясь меньшим, чем x 0 (слева от х 0), большим, чем х о (справа от х о), или колеблясь около точки x 0 .
Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к х о существенно влияет на значение придела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.
Число А 1 называется пределом функции у=ƒ(х) слева в точке х о, если для любого число ε>0 существует число δ=δ(ε)> 0 такое, что при х є (х 0 -δ;x o), выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε. Предел слева записывают так: limƒ(х)=А при х–>х 0 -0 или коротко: ƒ(х о- 0)=А 1 (обозначение Дирихле) (см. рис. 111).
Аналогично определяется предел функции справа, запишем его с помощью символов:
Коротко предел справа обозначают ƒ(х о +0)=А.
Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами. Очевидно, если существует , то существуют и оба односторонних предела, причем А=А 1 =А 2 .
Справедливо и обратное утверждение: если существуют оба предела ƒ(х 0 -0) и ƒ(х 0 +0) и они равны, то существует предел и А=ƒ(х 0 -0).
Если же А 1 ¹ А 2 , то етот придел не существует.
16.3. Предел функции при х ® ∞
Пусть функция у=ƒ(х) определена в промежутке (-∞;∞). Число А называется пределом функции ƒ(х) при х→∞ , если для любого положительного числа ε существует такое число М=М()>0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству |х|>М выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε. Коротко это определение можно записать так:
Геометрический смысл этого определения таков: для " ε>0 $ М>0, что при х є(-∞; -М) или х є(М; +∞) соответствующие значения функции ƒ(х) попадают в ε-окрестность точки А, т. е. точки графика лежат в полосе шириной 2ε, ограниченной прямыми у=А+ε и у=А-ε (см. рис. 112).
16.4. Бесконечно большая функция (б.б.ф.)
Функция у=ƒ(х) называется бесконечно большой при х→х 0 , если для любого числа М>0 существует число δ=δ(М)>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|х-хо|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)|>М.
Например, функция у=1/(х-2) есть б.б.ф. при х->2.
Если ƒ(х) стремится к бесконечности при х→х о и принимает лишь положительные значения, то пишут
если лишь отрицательные значения, то
Функция у=ƒ(х), заданная на всей числовой прямой, называется бесконечно большой при х→∞, если для любого числа М>0 найдется такое число N=N(M)>0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству |х|>N, выполняется неравенство |ƒ(х)|>М. Коротко:
Например, у=2х есть б.б.ф. при х→∞.
Отметим, что если аргумент х, стремясь к бесконечности, принимает лишь натуральные значения, т. е. хєN, то соответствующая б.б.ф. становится бесконечно большой последовательностью. Например, последовательность v n =n 2 +1, n є N, является бесконечно большой последовательностью. Очевидно, всякая б.б.ф. в окрестности точки х о является неограниченной в этой окрестности. Обратное утверждение неверно: неограниченная функция может и не быть б.б.ф. (Например, у=хsinх.)
Однако, если limƒ(х)=А при х→x 0 , где А - конечное число, то функция ƒ(х) ограничена в окрестности точки х о.
Действительно, из определения предела функции следует, что при х→ х 0 выполняется условие |ƒ(х)-А|<ε. Следовательно, А-ε<ƒ(х)<А+ε при х є (х о -ε; х о +ε), а это и означает, что функция ƒ (х) ограничена.
Приводятся формулировки основных теорем и свойств предела функции. Даны определения конечных и бесконечных пределов в конечных точках и на бесконечности (двусторонних и односторонних) по Коши и Гейне. Рассмотрены арифметические свойства; теоремы, связанные с неравенствами; критерий сходимости Коши; предел сложной функции; свойства бесконечно малых, бесконечно больших и монотонных функций. Дано определение функции.
Определение функции
Функцией y = f(x) называется закон (правило), согласно которому, каждому элементу x множества X ставится в соответствие один и только один элемент y множества Y .
Элемент x ∈
X
называют аргументом функции
или независимой переменной
.
Элемент y ∈
Y
называют значением функции
или зависимой переменной
.
Множество X
называется областью определения функции
.
Множество элементов y ∈
Y
,
которые имеют прообразы в множестве X
,
называется областью или множеством значений функции
.
Действительная функция называется ограниченной сверху (снизу)
, если существует такое число M
,
что для всех выполняется неравенство:
.
Числовая функция называется ограниченной
, если существует такое число M
,
что для всех :
.
Верхней гранью
или точной верхней границей
действительной функции называют наименьшее из чисел, ограничивающее область ее значений сверху. То есть это такое число s
,
для которого для всех и для любого ,
найдется такой аргумент ,
значение функции от которого превосходит s′
:
.
Верхняя грань функции может обозначаться так:
.
Соответственно нижней гранью
или точной нижней границей
действительной функции называют наибольшее из чисел, ограничивающее область ее значений снизу. То есть это такое число i
,
для которого для всех и для любого ,
найдется такой аргумент ,
значение функции от которого меньше чем i′
:
.
Нижняя грань функции может обозначаться так:
.
Определение предела функции
Определение предела функции по Коши
Конечные пределы функции в конечных точках
Пусть функция определена в некоторой окрестности конечной точки за исключением, может быть, самой точки .
в точке ,
если для любого существует такое ,
зависящее от ,
что для всех x
,
для которых ,
выполняется неравенство
.
Предел функции обозначается так:
.
Или при .
С помощью логических символов существования и всеобщности определение предела функции можно записать следующим образом:
.
Односторонние пределы.
Левый предел в точке (левосторонний предел):
.
Правый предел в точке (правосторонний предел):
.
Пределы слева и справа часто обозначают так:
;
.
Конечные пределы функции в бесконечно удаленных точках
Аналогичным образом определяются пределы в бесконечно удаленных точках.
.
.
.
Их часто обозначают так:
;
;
.
Использование понятия окрестности точки
Если ввести понятие проколотой окрестности точки ,
то можно дать единое определение конечного предела функции в конечных и бесконечно удаленных точках:
.
Здесь для конечных точек
;
;
.
Любые окрестности бесконечно удаленных точек являются проколотыми:
;
;
.
Бесконечные пределы функции
Определение
Пусть функция определена в некоторой проколотой окрестности точки (конечной или бесконечно удаленной). f(x)
при x → x 0
равен бесконечности
, если для любого, сколь угодно большого числа M > 0
,
существует такое число δ M > 0
,
зависящее от M
,
что для всех x
,
принадлежащих проколотой δ M
- окрестности точки :
,
выполняется неравенство:
.
Бесконечный предел обозначают так:
.
Или при .
С помощью логических символов существования и всеобщности определение бесконечного предела функции можно записать так:
.
Также можно ввести определения бесконечных пределов определенных знаков, равных и :
.
.
Универсальное определение предела функции
Используя понятие окрестности точки, можно дать универсальное определение конечного и бесконечно предела функции, применимое как для конечных (двусторонних и односторонних), так и для бесконечно удаленных точек:
.
Определение предела функции по Гейне
Пусть функция определена на некотором множестве X
:
.
Число a
называется пределом функции
в точке :
,
если для любой последовательности ,
сходящейся к x 0
:
,
элементы которой принадлежат множеству X
:
,
.
Запишем это определение с помощью логических символов существования и всеобщности:
.
Если в качестве множества X взять левостороннюю окрестность точки x 0 , то получим определение левого предела. Если правостороннюю - то получим определение правого предела. Если в качестве множества X взять окрестность бесконечно удаленной точки, то получим определение предела функции на бесконечности.
Теорема
Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.
Доказательство
Свойства и теоремы предела функции
Далее мы считаем, что рассматриваемые функции определены в соответствующей окрестности точки , которая является конечным числом или одним из символов: . Также может быть точкой одностороннего предела, то есть иметь вид или . Окрестность является двусторонней для двустороннего предела и односторонней для одностороннего.
Основные свойства
Если значения функции f(x) изменить (или сделать неопределенными) в конечном числе точек x 1 , x 2 , x 3 , ... x n , то это изменение никак не повлияет на существование и величину предела функции в произвольной точке x 0 .
Если существует конечный предел ,
то существует такая проколотая окрестность точки x 0
,
на которой функция f(x)
ограничена:
.
Пусть функция имеет в точке x 0
конечный предел, отличный от нуля:
.
Тогда, для любого числа c
из интервала ,
существует такая проколотая окрестность точки x 0
,
что для ,
,
если ;
,
если .
Если, на некоторой проколотой окрестности точки , - постоянная, то .
Если существуют конечные пределы и и на некоторой проколотой окрестности точки x 0
,
то .
Если ,
и на некоторой окрестности точки
,
то .
В частности, если на некоторой окрестности точки
,
то если ,
то и ;
если ,
то и .
Если на некоторой проколотой окрестности точки x 0
:
,
и существуют конечные (или бесконечные определенного знака) равные пределы:
,
то
.
Доказательства основных свойств приведены на странице
«Основные свойства пределов функции ».
Арифметические свойства предела функции
Пусть функции и определены в некоторой проколотой окрестности точки .
И пусть существуют конечные пределы:
и .
И пусть C
- постоянная, то есть заданное число. Тогда
;
;
;
,
если .
Если , то .
Доказательства арифметических свойств приведены на странице
«Арифметические свойства пределов функции ».
Критерий Коши существования предела функции
Теорема
Для того, чтобы функция ,
определенная на некоторой проколотой окрестности конечной или бесконечно удаленной точки x 0
,
имела в этой точке конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0
существовала такая проколотая окрестность точки x 0
,
что для любых точек и из этой окрестности, выполнялось неравенство:
.
Предел сложной функции
Теорема о пределе сложной функции
Пусть функция имеет предел и отображает проколотую окрестность точки на проколотую окрестность точки .
Пусть функция определена на этой окрестности и имеет на ней предел .
Здесь - конечные или бесконечно удаленные точки: .
Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.
Тогда существует предел сложной функции и он равен :
.
Теорема о пределе сложной функции применяется в том случае, когда функция не определена в точке или имеет значение, отличное от предельного .
Для применения этой теоремы, должна существовать проколотая окрестность точки ,
на которой множество значений функции не содержит точку :
.
Если функция непрерывна в точке ,
то знак предела можно применять к аргументу непрерывной функции:
.
Далее приводится теорема, соответствующая этому случаю.
Теорема о пределе непрерывной функции от функции
Пусть существует предел функции g(t)
при t → t 0
,
и он равен x 0
:
.
Здесь точка t 0
может быть конечной или бесконечно удаленной: .
И пусть функция f(x)
непрерывна в точке x 0
.
Тогда существует предел сложной функции f(g(t))
,
и он равен f(x 0)
:
.
Доказательства теорем приведены на странице
«Предел и непрерывность сложной функции ».
Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Бесконечно малые функции
Определение
Функция называется бесконечно малой при ,
если
.
Сумма, разность и произведение конечного числа бесконечно малых функций при является бесконечно малой функцией при .
Произведение функции, ограниченной на некоторой проколотой окрестности точки , на бесконечно малую при является бесконечно малой функцией при .
Для того, чтобы функция имела конечный предел ,
необходимо и достаточно, чтобы
,
где - бесконечно малая функция при .
«Свойства бесконечно малых функций ».
Бесконечно большие функции
Определение
Функция называется бесконечно большой при ,
если
.
Сумма или разность ограниченной функции, на некоторой проколотой окрестности точки , и бесконечно большой функции при является бесконечно большой функцией при .
Если функция является бесконечно большой при ,
а функция - ограничена, на некоторой проколотой окрестности точки ,
то
.
Если функция ,
на некоторой проколотой окрестности точки ,
удовлетворяет неравенству:
,
а функция является бесконечно малой при :
,
и (на некоторой проколотой окрестности точки ), то
.
Доказательства свойств изложены в разделе
«Свойства бесконечно больших функций ».
Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями
Из двух предыдущих свойств вытекает связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.
Если функция являются бесконечно большой при , то функция является бесконечно малой при .
Если функция являются бесконечно малой при , и , то функция является бесконечно большой при .
Связь между бесконечно малой и бесконечно большой функцией можно выразить символическим образом:
,
.
Если бесконечно малая функция имеет определенный знак при ,
то есть положительна (или отрицательна) на некоторой проколотой окрестности точки ,
то этот факт можно выразить так:
.
Точно также если бесконечно большая функция имеет определенный знак при ,
то пишут:
.
Тогда символическую связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями можно дополнить следующими соотношениями:
,
,
,
.
Дополнительные формулы, связывающие символы бесконечности, можно найти на странице
«Бесконечно удаленные точки и их свойства ».
Пределы монотонных функций
Определение
Функция ,
определенная на некотором множестве действительных чисел X
называется строго возрастающей
, если для всех таких что выполняется неравенство:
.
Соответственно, для строго убывающей
функции выполняется неравенство:
.
Для неубывающей
:
.
Для невозрастающей
:
.
Отсюда следует, что строго возрастающая функция также является неубывающей. Строго убывающая функция также является невозрастающей.
Функция называется монотонной , если она неубывающая или невозрастающая.
Теорема
Пусть функция не убывает на интервале ,
где .
Если она ограничена сверху числом M
:
,
то существует конечный предел .
Если не ограничена сверху, то .
Если ограничена снизу числом m
:
,
то существует конечный предел .
Если не ограничена снизу, то .
Если точки a
и b
являются бесконечно удаленными, то в выражениях под знаками пределов подразумевается, что .
Эту теорему можно сформулировать более компактно.
Пусть функция не убывает на интервале ,
где .
Тогда существуют односторонние пределы в точках a
и b
:
;
.
Аналогичная теорема для невозрастающей функции.
Пусть функция не возрастает на интервале ,
где .
Тогда существуют односторонние пределы:
;
.
Доказательство теоремы изложено на странице
«Пределы монотонных функций ».
Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.