Большинство разработчиков с трудом представляет, как его синтаксис, так и возможности. Всё дело в том, что язык напрямую связан с популярным программным продуктом, стоимость которого может достигать потрясающих воображение значений. Итак, главный вопрос: так ли хорош непосредственно язык Matlab? И может ли он быть полезен именно вам.

Использование

Начнём не со стандартного экскурса в историю и обсуждения плюсов и минусов языка, а с программной среды MATLAB/Simulink - единственного места, где герой этого текста может быть полезен. Просто представьте себе графический редактор, в котором вы сможете реализовать любую свою задумку, не имея за плечами нескольких лет опыта и соответствующего образования. И создав один раз схему взаимодействия инструментов, получить качественный скрипт для многократного использования.

MATLAB - именно такой редактор в мире данных. Область его применения безгранично широка: IoT, финансы, медицина, космос, автоматика, робототехника, беспроводные системы и многое-многое другое. В общем почти неограниченные возможности по сбору и визуализации данных, а также прогнозированию, но только если есть возможность купить соответствующий пакет.

Что касается цены, то в верхней границы почти нет, а вот нижняя находится в район 99$. Чтобы урвать столь мощный продукт за относительно небольшие деньги, вам необходимо быть студентом ВУЗа. И конечно же вы получите довольно ограниченный продукт.

Особенности языка

Язык MATLAB - инструмент, обеспечивающий взаимодействие оператора (часто даже не программиста) со всеми доступными возможностями анализа, сбора и представления данных. У него есть очевидные плюсы и минусы, свойственные языку живущему в замкнутой экосистеме.

Недостатки:

Медленный и перегруженный операторами, командами, функциями язык, основной целью которого является улучшение визуального восприятия.

Узконаправленный. Нет никакой больше программной платформы, где бы MATLAB был полезен.

Дороговизна ПО. Если вы не студент - либо готовьтесь опустошить карманы или перейти границу закона. И даже если студент - цена приличная.

Невысокий спрос. Несмотря на большой интерес к MATLAB практически во всех сферах, фактически и легально его используют лишь немногие.

Достоинства:

Язык легок для изучения, обладает простым и понятным синтаксисом.

Огромные возможности. Но это скорее преимущество всего продукта в целом.

Частые обновления, как правило заметные положительные преобразования происходят не реже пары раз в год.

Программная среда позволяет преобразовывать его в “быстрый” код на С, С++.

Целевая аудитория

Разумеется, MATLAB нужен далеко не всем. Несмотря на широчайшую область применения, трудно представить, что рядовому разработчику приложений может понадобиться знание этого языка. MATLAB крайне полезен в областях, требующих особой надёжности при обработке данных, например, в системах автопилота в автомобилях или бортовых электронных системах самолёта.

То есть если вы не очень программист, но так или иначе ваша профессия связана с необходимостью программной обработки данных, то продукт MATLAB/Simulink с соответствующим языком способны сильно упростить ваши каждодневные задачи.

Литература

Завершаем обзор языка как всегда списком учебной литературы. Само-собой среди них вы не отыщите книг исключительно по языку, но от этого восприятие языка будет только проще:

А у вас есть опыт работы с MATLAB? И какой?

Для тех, кто хочет стать программистом - .

Многие математические системы создавались, исходя из предположения, что пользователь будет решать свои задачи, практически не занимаясь программированием. Однако с самого начала было ясно, что подобный путь имеет недостатки и по большому счету порочен. Многие задачи нуждаются в развитых средствах программирования, которые упрощают запись их алгоритмов и порою открывают новые методы создания последних.

С одной стороны, MATLAB содержит огромное число встроенных операторов и функций (приближающееся к тысяче), которые успешно решают множество практических задач, для чего ранее приходилось готовить достаточно сложные программы. К примеру, это функции обращения или транспонирования матриц, вычисления значений производной или интеграла и т. д. и т. п. Число таких функций с учетом пакетов расширения системы уже достигает уже многих тысяч и непрерывно увеличивается. Но, с другой стороны, система MATLAB с момента своего создания создавалась как мощный математико-ориентированный на технические вычисления язык программированиявысокого уровня. И многие вполне справедливо рассматривали это как важное достоинство системы, свидетельствующее о возможности ее применения для решения новых, наиболее сложных математических задач.

Система MATLAB имеет входной язык, напоминающий Бейсик (с примесью средств Фортрана и Паскаля). Запись программ в системе традиционна и потому привычна для большинства пользователей компьютеров. К тому же система дает возможность редактировать программы с помощью любого, привычного для пользователя текстового редактора. Имеет она и собственный редактор с отладчиком. Язык системы MATLAB в части программирования математических вычислений намного богаче любого универсального языка программирования высокого уровня. Он реализует почти все известные средства программирования, в том числе объектно-ориентированное и визуальное программирование. Это дает опытным программистам необъятные возможности для самовыражения.

1. М-файлы.

В предыдущих лекциях мы рассмотрели достаточно простые примеры, для выполнения которых требуется набрать несколько команд в командной строке. Для более сложных задач число команд возрастает, и работа в командной строке становится непродуктивной. Использование истории команд,

сохранение переменных рабочей среды или ведение дневника при помощи diary незначительно

повышают производительность работы. Эффективное решение состоит в оформлении собственных алгоритмов в виде программ (М-файлов), которые можно запустить из рабочей среды или из редактора. Встроенный в MATLAB редактор М-файлов позволяет не только набирать текст программы и запускать ее целиком или частями, но и отлаживать алгоритм. Подробная классификация М-файлов приведена ниже.

1.1. Работа в редакторе М-файлов.

Для подготовки, редактирования и отладки m-файлов служит специальный многооконный редактор. Он выполнен как типичное приложение Windows. Редактор можно вызвать командойedit из командной строки или командой главного менюFile | New | M-file . После этого в окне редактора можно создавать свой файл, пользоваться средствами его отладки и запуска. Перед запуском файла его необходимо записать на диск, используя командуFile | Save as в меню редактора.

На рис.1 показано окно редактора/отладчика. Подготовленный текст файла (это простейшая и наша первая программа на языке программирования MATLAB) можно записать на диск. Для этого используется команда Save As , которая использует стандартное окно Windows для записи файла с заданным именем. Следует отметить, что имя М-файла должно быть уникально, а требование к имени файла такое же, как для имен переменных среды MATLAB. После записи файла на диск можно запустить командуRun на панели инструментов или менюDebug , или просто нажать ., для того чтобы исполнить m-файл.

На первый взгляд может показаться, что редактор/отладчик - просто лишнее звено в цепочке «пользователь - MATLAB». И в самом деле, текст файла можно было бы ввести в окно системы и получить тот же результат. Однако на деле редактор/отладчик выполняет важную роль. Он позволяет создать m-файл (программу) без той многочисленной «шелухи», которая сопровождает работу в командном режиме. Текст такого файла подвергается тщательной синтаксической проверке, в ходе которой выявляются и отсеиваются многие ошибки пользователя. Таким образом, редактор обеспечивает синтаксический контроль файла.

Редактор имеет и другие важные отладочные средства - он позволяет устанавливать в тексте файла специальные метки, именуемые точками прерывания (breakpoints ). При их достижении вычисления приостанавливаются, и пользователь может оценить промежуточные результаты вычислений (например, значения переменных), проверить правильность выполнения циклов и т. д. Наконец, редактор позволяет записать файл в текстовом формате и увековечить ваши труды в файловой системе MATLAB.

Для удобства работы с редактором/отладчиком строки программы в нем нумеруются в последовательном порядке. Редактор является многооконным. Окно каждой программы оформляется как вкладка. Редактор-отладчик позволяет легко просматривать значения переменных. Для этого достаточно подвести к имени переменной курсор мыши и задержать его - появится всплывающая подсказка с именем переменной и ее значением.

Очень удобной возможностью редактора М-файлов являетсявыполнение части команд. Для этого используется командаEvaluate Selection из контекстного меню или главного менюText , или просто функциональная клавиша , которые позволяют выполнить выделенный текст программы.

Рис. 1. Окно редактора М-файлов.

1.2. Типы М-файлов. Файл-программы.

М-файлы в MATLAB бывают двух типов: файл-программы (Script M-Files) , содержащие последовательность команд, и файл-функции (Function M-Files) , в которых описываются функции, определяемые пользователем.

Файл-программы представляют собой простейший тип М-файлов. Они не имеют входных и выходных аргументов и оперируют переменными, существующими в рабочей среде, или могут создавать новые переменные. Файл-программу mydemo вы написали при прочтении предыдущего раздела. Все переменные, объявленные в файл-программе, становятся доступными в рабочей среде после ее выполнения. Запустите файл-программу mydemo , приведенную в листинге рис.1. Перейдите в окно Workspace и убедитесь, что все введенные в М-файле переменные появились в рабочей среде. Все созданные при исполнении М-файла переменные остаются в рабочей среде после его завершения, и их можно использовать в других файл-программах и в командах, выполняемых из командной строки.

Запуск файл-программы осуществляется двумя способами.

1. Из редактора М-файлов так, как описано выше.

2. Из командной строки или другой файл-программы, при этом в качестве команды используется имя М-файла (без расширения). Применение второго способа намного удобнее, особенно если созданная файл-программа будет неоднократно использоваться впоследствии. Фактически созданный М-файл становится командой, которую понимает MATLAB.

Закройте все графические окна и наберите в командной строке mydemo , появляется графическое окно, соответствующее командам файл-программы mydemo.m . После ввода командыmydemo MATLAB производит следующие действия.

1. Проверяет, является ли введенная команда именем какой-либо из переменных, определенных

в рабочей среде. Если введена переменная, то выводится ее значение.

2. Если введена не переменная, то MATLAB ищет введенную команду среди встроенных функций. Если команда оказывается встроенной функцией, то происходит ее выполнение.

3. Если введена не переменная и не встроенная функция, то MATLAB начинает поиск М-файла с названием команды и расширением m. Поиск начинается стекущего каталога (Current Directory); если М-файл в нем не найден, то MATLAB просматривает каталоги, установленные впути поиска (Path). (Для установки текущего каталога можно использовать окно выбора с одноименным названием на панели инструментов или командуcd . Установка путей поиска осуществляется с

помощью команды Set Path команды менюFile или с помощью командыaddpath ).

Если ни одно из вышеперечисленных действий не привело к успеху, то в командное окно выводится сообщение, например, если сделать ошибку.

Последовательность поиска MATLAB говорит о том, что очень важно правильно задавать имя собственной файл-программы при сохранении ее в М-файле. Во-первых, ее имя не должно совпадать с именем существующих функций в MATLAB. Узнать, занято имя или нет можно при помощи функцииexist .

Во-вторых, имя файла не должно начинаться с цифры, знаков "+" или "-", словом с тех символов, которые могут быть интерпретированы MATLAB как ошибка при вводе выражения. Например, если вы назовете М-файл с файл-программой 5prog.m, то при ее запуске из меню редактора или по получите сообщение об ошибке. Это не удивительно, т. к. MATLAB ждет от вас 5 + prog (или 5, prog) для вычисления арифметического выражения с переменной prog (или добавления 5 в качестве первого элемента к вектор-строке prog). Следовательно, правильным было бы имя prog5.m (или хотя бы p5rog.m), но только начинающееся с буквы.

Обратите внимание, что если вы запускаете на выполнение выделенные команды (могут быть выделены все команды) М-файла с неверным именем при помощи , то ошибки не будет. Фактически происходит последовательное выполнение команд, не отличающееся от их вызова из командной строки, а не работа файл-программы.

Очень распространена еще одна ошибка при задании имени файл-программы, которая на первый взгляд имеет необъяснимые последствия: программа запускается только один раз. Повторный запуск не приводит к выполнению программы. Разберем эту ситуацию на примере файл-программы из листинга 5.1, которую вы сохранили в файле mydemo.m. Переименуйте файл в x.m, затем удалите все переменные рабочей среды из окна браузера переменных Workspace или из командной строки:

>> clear all

Выполните файл-программу, например, из редактора, нажав . Появляется графическое окно с двумя графиками и ничего не предвещает подвоха. Закройте теперь графическое окно и запустите программу снова. Графическое окно больше не создается, зато в командное окно вывелись значения массиваx в соответствии с первым пунктом приведенного выше алгоритма поиска MATLAB. Эти обстоятельства следует учитывать при выборе имени файл-программы. Не менее важный вопрос связан с третьим пунктом алгоритма поиска MATLAB – текущим каталогом и путями поиска. Как правило, собственные М-файлы хранятся в каталогах пользователя. Для того чтобы система MATLAB могла найти их, следует установить пути, указывающие расположение М-файлов.

1.3. Файл-функции.

Рассмотренные выше файл-программы являются последовательностью команд MATLAB, они не имеют входных и выходных аргументов. Для решения вычислительных задач и написания собственных приложений в MATLAB часто требуется программировать файл-функции, которые производят необходимые действия с входными аргументами и возвращают результат в выходных аргументах. Число входных и выходных аргументов зависит от решаемой задачи – может быть только один входной и один выходной аргумент, несколько и тех и других, или только входные аргументы.

Возможна ситуация, когда входные и выходные аргументы отсутствуют. В этом разделе разобрано несколько простых примеров, позволяющих понять работу с файл-функциями. Файл-функции, так же как и файл-программы, создаются в редакторе М-файлов.

Файл-функции с одним входным аргументом.

Предположим, что в вычислениях часто необходимо использовать значение функции:

Имеет смысл один раз написать файл-функцию, а потом вызывать ее всюду, где необходимо вычисление этой функции для заданного аргумента. Для этого необходимо открыть в редакторе М- файлов новый файл и набрать текст:

function f = myfun(x)

Слово function в первой строке определяет, что данный файл содержит файл-функцию. Первая строка являетсязаголовком функции, в которой размещаютсяимя функции и списки входных и выходных аргументов. Входные аргументы записываются в круглых скобках после имени функции. В нашем примере есть только один входной аргумент – х. Выходной аргумент f указывается слева от знака равенства в заголовке функции. При выборе имени файл-функции следует позаботиться об отсутствии конфликтов с занятыми именами в MATLAB. Аналогичный вопрос мы обсуждали выше: как сохранить файл-программу в файле с уникальным именем. Тот же самый подход, основанный на обращении к функцииexist , вы можете применить для задания имени файл-функции.

После заголовка размещается тело файл-функции – один или несколько операторов (их может быть достаточно много), которые реализуют алгоритм получения значения выходных переменных из входных. В нашем примере алгоритм простой – по заданному х вычисляется арифметическое выражение и результат записывается в f.

Теперь необходимо сохранить файл в рабочем каталоге или в другом, известном для MATLAB, месте. При выборе пунктов Save илиSave as... менюFile по-умолчанию предлагается имя файла, совпадающее с названием функции myfun. Необходимо сохранить файл-функцию с этим предложенным именем. Теперь созданную функцию можно использовать так же, как и встроенныеsin, cos и другие, например, из командной строки:

>> y=myfun(1.3) y =

При создании файл-функции myfun мы подавили вывод значения f в командное окно, завершив оператор присваивания точкой с запятой. Если этого не сделать, то оно выведется при обращенииy=myfun(1.3) . Как правило, лучше избегать вывода в командное окно результатов промежуточных вычислений внутри файл-функции.

Файл-функция, приведенная в предыдущем примере, имеет один существенный недостаток. Попытка вычисления значений функции от массива приводит к ошибке, а не к массиву значений так, как это происходит при использовании встроенных функций.

>> x=;

>> y=myfun(x)

??? Error using ==> ^ Matrix must be square.

Error in ==> C:\MATLAB6p5\work\myfun.m

On line 2 ==> f = exp(-x)*sqrt((x^2 + 1)/(x^4 + 0.1));

Очевидно, что для избежания этой ошибки необходимо использовать поэлементные операции. В частности, для правильной работы нашей функции необходимо текст функции переписать в следующем виде:

function f = myfun(x)

f = exp(-x).*sqrt((x.^2 + 1)./(x.^4 + 0.1));

Теперь аргументом функции myfun может быть как число, так и вектор или матрица значений, например:

>> x=;

>> y=myfun(x)

Переменная y , в которую записывается результат вызова функцииmyfun , автоматически становится вектором нужного размера.

Рассмотрим пример использования функций. Cтроим график функции myfun на отрезке при помощи файл-программы или из командной строки:

>> x=0:0.5:4;

>> y=myfun(x);

>> plot(x,y)

Решение вычислительных задач средствами MATLAB потребует от вас умения программировать файл-функции, соответствующие поставленной задаче (например, правая часть системы дифференциальных уравнений или подынтегральная функция).

Мы рассмотрим сейчас только один простой пример того, как использование файл-функций упрощает визуализацию математических функций. Только что мы построили график при помощиplot . Заметьте, что для вычисления вектора y не обязательно было вызыватьmyfun – можно сразу записать выражение для него и потом указать паруx иy вplot . Имеющаяся в нашем распоряжении файл-функция myfun позволяет обратиться к специальной функцииfplot , которой требуется указать имя нашей файл-функции (в апострофах) или указатель на нее (с оператором @ перед именем функции) и границы отрезка для построения графика (в векторе из двух элементов)

>> fplot("myfun", )

>> fplot(@myfun, )

Следует добавить алгоритм функции fplot автоматически подбирает шаг аргумента, уменьшая его на участках быстрого изменения исследуемой функции, что дает пользователю хорошее отображение данных.

Файл-функции с несколькими входными аргументами.

Написание файл-функций с несколькими входными аргументами практически не отличается от случая одного аргумента. Все входные аргументы размещаются в списке через запятую. Следующий пример содержит файл-функцию, вычисляющую длину радиус-вектора точки трехмерного

пространства x 2 + y 2 + z 2 .

function r = radius3(x,y,z) r = sqrt(x.^2 + y.^2 + z.^2);

>> R = radius3(1, 1, 1)

Кроме функций с несколькими аргументами, MATLAB позволяет создавать функции, возвращающие несколько значений, т. е. имеющих несколько выходных аргументов.

Файл-функции с несколькими выходными аргументами.

Файл-функции с несколькими выходными аргументами удобны при вычислении функций, возвращающих несколько значений (в математике они называются вектор-функции). Выходные аргументы добавляются через запятую в список выходных аргументов, а сам список заключается вквадратные скобки. Следующий пример приводит файл-функцию hms для перевода времени, заданного в секундах, в часы, минуты и секунды:

function = hms(sec) hour = floor(sec/3600);

При вызове файл-функций с несколькими выходными аргументами результат следует записывать в вектор соответствующей длины:

>> = hms(10000) H =

Если при использовании данной функции явно не указывать выходные параметры, то результатом вызова функции будет только первый выходной аргумент:

>> hms(10000) ans =

Если список выходных аргументов пуст, т. е. заголовок выглядит так: function myfun(a, b) илиfunction = myfun(a, b) ,

то файл-функция не будет возвращать никаких значений. Такие функции тоже иногда оказываются полезными.

Функции MATLAB обладают еще одним полезным качеством - возможностью получения информации о них при помощи команды help , например,help fplot . Собственные файлфункции так же можно наделить этим свойством, используя строки комментариев. Все строки комментариев после заголовка и до тела функции или пустой строки выводятся в командное окно командойhelp . Например для нашей функции можно создать подсказку:

function = hms(sec)%hms - перевод секунд в часы, минуты и секунды

% Функция hms предназначена для перевода секунд

% в часы минуты и секунды.

% = hms(sec)

hour = floor(sec/3600);

minute = floor((sec - hour*3600)/60); second = sec - hour*3600 - minute*60;

1.4. Подфункции.

Рассмотрим еще одну разновидность функций – подфункции. Использование подфункций основано на выделении части алгоритма в самостоятельную функцию, текст которой содержится в том же файле, что и основная функция. Рассмотрим это на примере.

function simple;

% Основная функция a = 2*pi;

fl = f(1.1, 2.1) f2 = f(3.1, 4.2)-a f3 = f(-2.8, 0.7)+a

function z = f(x, y)% Подфункция

z = x^3 - 2*y^3 - x*y + 9;

Первая функция simple являетсяосновной функцией вsimple.m , именно ее операторы выполняются, если пользователь вызываетsimple , например, из командной строки. Каждое обращение к подфункции f в основной функции приводит к переходу к размещенным в подфункции операторам и последующему возврату в основную функцию.

Файл-функция может содержать одну или несколько подфункций со своими входными и выходными параметрами, но основная функция может быть только одна. Заголовок новой подфункции одновременно является признаком конца предыдущей. Основная функция обменивается информацией с подфункциями только при помощи входных и выходных параметров. Переменные, определенные в подфункциях и в основной функции, являютсялокальными, они доступны в пределах своей функции.

Один из возможных вариантов использования переменных, которые являются общими для всех функций М-файла, состоит в объявлении данных переменных в начале основной функции и подфункции какглобальных, при помощиglobal со списком имен переменных, разделяемых пробелом.

2. Управляющие конструкции языка программирования.

Файл-функции и файл-программы, которые вы создавали при чтении двух предыдущих глав, являются самыми простыми примерами программ. Все команды MATLAB, содержащиеся в них, выполняютсяпоследовательно. Для решения многих более серьезных задач требуются программы, в которых действия повторяются циклически, а в зависимости от некоторых условий выполняются различные части программы. В данной главе описаны управляющие конструкции языка программирования MATLAB, которые могут быть использованы при написании как файл-программ, так и файл-функций.

2.1. Операторы цикла.

Схожие и повторяющиеся действия выполняются при помощи операторов цикла for иwhile . Циклfor предназначен для выполнениязаданного числа повторяющихся действий, awhile – для действий, число которых заранее не известно, но известноусловие продолжения цикла.

Цикл for .

Использование for осуществляется следующим образом:

for count = start:step:final

команды MATLAB

Здесь count -переменная цикла,start – ее начальное значение,final – конечное значение, astep – шаг, на который увеличиваетсяcount при каждом следующем заходе в цикл. Цикл заканчивается, как только значениеcount становится большеfinal . Переменная цикла может принимать не только целые, но и вещественные значения любого знака. Приведем пример применения циклаfor . Пусть требуется вывести графики семейства кривых дляx , которое

задано функцией y (x ,a )= e − ax sinx , зависящей от параметраa , для значений параметраа от -0.1 до

0.1 с шагом 0.02. Можно, конечно, последовательно вычислять у(х, а) и строить ее графики для различных значенийа , но гораздо удобнее использовать циклfor . Текст файл-программы:

figure % создание графического окна

x = 0:pi/30:2*pi; % вычисление вектора значений аргумента

% перебор значений параметра в цикле for a = -0.1:0.02:0.1

% вычисление вектора значений функции для текущего значения...

параметра

y = exp(-a*x).*sin(x); % добавление графика функцииhold on

plot(x, y) end

В результате выполнения этой файл-программы появится графическое окно, изображенное на рис. 2, которое содержит требуемое семейство кривых.

Рис. 2. Семейство кривых.

Циклы for могут бытьвложены друг в друга, при этом переменные вложенных циклов должны бытьразными. Вложенные циклы удобны для заполнения матриц. Пример создания матрицы Гильберта:

a = zeros(n); for i = 1:n

for j = 1:n

a(i, j) = 1/(i+j-1);

В заключение этого раздела отметим еще одну особенность цикла for , которая наряду с возможностью задания вещественного счетчика цикла с постоянным шагом делает циклfor достаточно универсальным. В качестве значений переменной цикла допускается использование массива значений:

for count = A

команды MATLAB

Если А - вектор-строка, тоcount последовательно принимает значение ее элементов при каждом заходе в цикл. В случае двумерного массиваА на i -ом шаге циклаcount содержит столбецА(:,i) . Разумеется, еслиА является вектор-столбцом, то цикл выполнится всего один раз со значениемcount , равнымА .

Цикл for оказывается полезным при выполнении определенного конечного числа действий. Существуют алгоритмы с заранее неизвестным количеством повторений, реализовать которые позволяет более гибкий циклwhile .

Цикл while .

Цикл while служит для организации повторений однотипных действий в случае, когда число повторений заранее неизвестно и определяется выполнением некоторого условия. Рассмотрим пример разложение sin(x) в ряд:

Конечно, до бесконечности суммировать не удастся, но можно накапливать сумму с заданной точностью, например, 10-10 . Очевидно, что число членов ряда в данном случае неизвестно, поэтом использование оператораfor невозможно. Выход состоит в применении циклаwhile , который работает, пока выполняетсяусловие цикла:

while условие повторения цикла

команды MATLAB

В данном примере условием повторения цикла является то, что модуль текущего слагаемого

x 2 k + 1 (2k + 1) ! больше 10-10 . Текст файл-функции mysin, вычисляющей сумму ряда на основе

рекуррентного соотношения:

function s = mysin(x)

% Вычисление синуса разложением в ряд

% Использование: у = mysin(x), -pi < х < pi

% вычисление первого слагаемого суммы для к = О k = 0;

% вычисление вспомогательной переменной

while abs(u) > 1.0e-10 k = k + 1;

u = -u* x2/(2*k)/(2*k + 1); s = s + u;

Введение

MATLAB (сокращение от англ. «Matrix Laboratory» ) - пакет прикладных программ для решения задач технических вычислений и одноимённый язык программирования, используемый в этом пакете. MATLAB ® используется более чем 1 000 000 инженерными и научными работниками, он работает на большинстве современных операционных систем.

MATLAB как язык программирования был разработан Кливом Моулером в конце 1970-х годов, когда он был деканом факультета компьютерных наук в Университете Нью-Мексико . Целью разработки служила задача дать студентам факультета возможность использования программных библиотек Linpack и EISPACK без необходимости изучения Фортрана . Вскоре новый язык распространился среди других университетов и был с большим интересом встречен учёными, работающими в области прикладной математики. До сих пор в Интернете можно найти версию 1982 года , написанную на Фортране, распространяемую с открытым исходным кодом . Инженер Джон Литтл (англ. John N . (Jack ) Little ) познакомился с этим языком во время визита Клива Моулера в Стэнфордский университет в 1983 году . Поняв, что новый язык обладает большим коммерческим потенциалом, он объединился с Кливом Моулером и Стивом Бангертом (англ. Steve Bangert ). Совместными усилиями они переписали MATLAB на C и основали в 1984 компанию The MathWorks для дальнейшего развития. Эти переписанные на С библиотеки долгое время были известны под именем JACKPAC. Первоначально MATLAB предназначался для проектирования систем управления (основная специальность Джона Литтла), но быстро завоевал популярность во многих других научных и инженерных областях. Он также широко использовался и в образовании, в частности, для преподавания линейной алгебры и численных методов .

Язык MATLAB является высокоуровневым интерпретируемымязыком программирования, включающим основанные наматрицахструктуры данных, широкий спектр функций, интегрированную среду разработки, объектно-ориентированные возможности и интерфейсы к программам, написанным на других языках программирования.

Программы, написанные на MATLAB, бывают двух типов - функции и скрипты. Функции имеют входные и выходные аргументы, а также собственное рабочее пространство для хранения промежуточных результатов вычислений и переменных. Скрипты же используют общее рабочее пространство. Как скрипты, так и функции не компилируются в машинный код и сохраняются в виде текстовых файлов.

Основной особенностью языка MATLAB являются его широкие возможности по работе с матрицами, которые создатели языка выразили в лозунге «думай векторно»

MATLAB предоставляет пользователю большое количество (несколько сотен) функций для анализа данных, покрывающие практически все области математики, в частности:

Матрицыи линейная алгебра - алгебра матриц,линейные уравнения,собственные значения и вектора,сингулярности, факторизация матриц и другие.

Многочленыиинтерполяция-корнимногочленов, операции над многочленами и ихдифференцирование, интерполяция иэкстраполяциякривыхи другие.

Математическая статистикаи анализ данных - статистические функции,статистическая регрессия,цифровая фильтрация,быстрое преобразование Фурьеи другие.

Обработка данных - набор специальных функций, включая построение графиков,оптимизацию, поискнулей,численное интегрирование(в квадратурах) и другие.

Дифференциальные уравнения- решение дифференциальных идифференциально-алгебраических уравнений, дифференциальных уравнений с запаздыванием, уравнений с ограничениями, уравнений вчастных производныхи другие.

Разреженные матрицы - специальный класс данных пакета MATLAB, использующийся в специализированных приложениях.

Целочисленная арифметика - выполнение операций целочисленной арифметики в среде MATLAB.

1. Базовые сведения

1.1. Рабочая среда MatLab

Чтобы запустить программу дважды щелкните на иконку . Перед Вами откроется рабочая среда, изображенная на рисунке.

Рабочая среда MatLab 6.х содержит следующие элементы:

панель инструментов с кнопками и раскрывающимся списком;

окно с вкладкамиLaunch Pad иWorkspace , из которого можно получить доступ к различным модулям ToolBox и к содержимому рабочей среды;

окно с вкладками Command History иCurrent Directory , предназначенное для просмотра и повторного вызова ранее введенных команд, а также для установки текущего каталога;

командное окно, в котором находится приглашение к вводу » и мигающий вертикальный курсор;

строку состояния.

Если в рабочей среде MatLab 6.х отсутствуют некоторые окна, приведенные на рисунке, то следует в меню View выбрать соответствующие пункты: Command Window , Command History , Current Directory , Workspase , Launch Pad .

Команды следует набирать в командном окне. Символ », обозначающий приглашение к вводу командной строки, набирать не нужно. Для просмотра рабочей области удобно использовать полосы скроллинга или клавиши Home ,End , для перемещения влево или вправо, иPageUp ,PageDown для перемещения вверх или вниз. Если вдруг после перемещения по рабочей области командного окна пропала командная строка с мигающим курсором, просто нажмитеEnter .

Важно помнить, что набор любой команды или выражения должен заканчиваться нажатием на Enter , для того, чтобы программа MatLab выполнила эту команду или вычислила выражение.

1.2. Простейшие вычисления

Наберите в командной строке 1+2и нажмитеEnter . В результате в командном окне MatLab отображается следующее:

Рис. 2 Графическое представление метода главных компонент

Что сделала программа MatLab? Сначала она вычислила сумму 1+2, затем записала результат в специальную переменнуюansи вывела ее значение, равное3, в командное окно. Ниже ответа расположена командная строка с мигающим курсором, обозначающая, что MatLab готов к дальнейшим вычислениям. Можно набирать в командной строке новые выражения и находить их значения. Если требуется продолжить работу с предыдущим выражением, например, вычислить(1+2)/4.5, то проще всего воспользоваться уже имеющимся результатом, который хранится в переменнойans. Наберитеans/4.5(при вводе десятичных дробей используется точка) и нажмитеEnter , получается

Рис. 3 Графическое представление метода главных компонент

1.3. Эхо команд

Выполнение каждой команды в MatLab сопровождается эхом. В приведенном выше примере - это ответ ans = 0.6667. Часто эхо затрудняет восприятие работы программы и тогда его можно отключить. Для этого команда должна завершаться символом точка с запятой. Например

Рис. 4 Пример ввода функции ScoresPCA

1.4. Сохранение рабочей среды. Mat файлы

Самый простой способ сохранить все значения переменных - использовать в меню File пунктSave Workspase As . При этом появляется диалоговое окноSave Workspase Variables , в котором следует указать каталог и имя файла. По умолчанию предлагается сохранить файл в подкаталогеworkосновного каталога MatLab. Программа сохранит результаты работы в файле с расширениемmat. Теперь можно закрыть MatLab. В следующем сеансе работы для восстановления значений переменных следует открыть этот сохраненный файл при помощи подпунктаOpen менюFile . Теперь все переменные, определенные в прошлом сеансе, опять стали доступными. Их можно использовать во вновь вводимых командах.

Основные возможности пакета Matlab

Наборы инструментов пакета Matlab

Структура и рабочие окна пакета Matlab

Работа в командном режиме

Основные элементы языка программирования Matlab

1. Основные возможности пакета Matlab

MATLAB (сокращение от англ. «Matrix Laboratory») - пакет прикладных программ для решения задач технических вычислений и одноименный язык программирования, используемый в этом пакете. MATLAB используют более 1 000 000 инженерных и научных работников, он работает на большинстве современных операционных систем, включая Linux, Mac OS, Solaris (начиная с версии R2010b поддержка Solaris прекращена) и Microsoft Windows.

История. MATLAB как язык программирования был разработан Кливом Моулером (англ. Cleve Moler) в конце 1970-х годов когда он был деканом факультета компьютерных наук в Университете Нью-Мексико. Целью разработки служила задача дать студентам факультета возможность использования программных библиотек Linpack и EISPACK без необходимости изучения Фортрана. Вскоре новый язык распространился среди других университетов и был с большим интересом встречен учеными, работающими в области прикладной математики. До сих пор в Интернете можно найти версию 1982 года, написанную на Фортране, распространяемую с открытым исходным кодом. Инженер Джон Литтл (англ. John N. (Jack) Little) познакомился с этим языком во время визита Клива Моулера в Стэндфордский университет в 1983 году. Поняв, что новый язык обладает большим коммерческим потенциалом, он объединился с Кливом Моулером и Стивом Бангертом (англ. Steve Bangert). Совместными усилиями они переписали MATLAB на C и основали в 1984 компанию The MathWorks для дальнейшего развития. Эти переписанные на С библиотеки долгое время были известны под именем JACKPAC. Первоначально MATLAB предназначался для проектирования систем управления (основная специальность Джона Литтла), но быстро завоевал популярность во многих других научных и инженерных областях. Он также широко использовался и в образовании, в частности, для преподавания линейной алгебры и численных методов.

Описание языка MATLAB. Язык MATLAB является высокоуровневым интерпретируемым языком программирования , включающим основанные на матрицах структуры данных, широкий спектр функций, интегрированную среду разработки, объектно-ориентированные возможности и интерфейсы к программам, написанным на других языках программирования.

Программы, написанные на MATLAB, бывают двух типов - функции и скрипты .

Функции имеют входные и выходные аргументы, а также собственное рабочее пространство для хранения промежуточных результатов вычислений и переменных.

Скрипты же используют общее рабочее пространство. Как скрипты, так и функции не компилируются в машинный код и сохраняются в виде текстовых файлов.

Существует также возможность сохранять так называемые pre-parsed программы - функции и скрипты, обработанные в вид, удобный для машинного исполнения. В общем случае такие программы выполняются быстрее обычных, особенно если функция содержит команды построения графиков.

Основной особенностью языка MATLAB являются его широкие возможности по работе с матрицами, которые создатели языка выразили в лозунге «думай векторно» (англ. Think vectorized ).

Применение MATLAB.

Математика и вычисления. MATLAB предоставляет пользователю большое количество (несколько сотен) функций для анализа данных, покрывающие практически все области математики, в частности:

Матрицы и линейная алгебра - алгебра матриц, линейные уравнения, собственные значения и вектора, сингулярности, факторизация матриц и другие.

Многочлены и интерполяция - корни многочленов, операции над многочленами и их дифференцирование, интерполяция и экстраполяция кривых и другие.

Математическая статистика и анализ данных - статистические функции, статистическая регрессия, цифровая фильтрация, быстрое преобразование Фурье и другие.

Обработка данных - набор специальных функций, включая построение графиков, оптимизацию, поиск нулей, численное интегрирование (в квадратурах) и другие.

Дифференциальные уравнения - решение дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений, дифференциальных уравнений с запаздыванием, уравнений с ограничениями, уравнений в частных производных и другие.

Разреженные матрицы - специальный класс данных пакета MATLAB, использующийся в специализированных приложениях.

Целочисленная арифметика - выполнение операций целочисленной арифметики в среде MATLAB.

Разработка алгоритмов. MATLAB предоставляет удобные средства для разработки алгоритмов, включая высокоуровневые с использованием концепций объектно-ориентированного программирования. В нем имеются все необходимые средства интегрированной среды разработки, включая отладчик и профайлер. Функции для работы с целыми типами данных облегчают создание алгоритмов для микроконтроллеров и других приложений, где это необходимо.

Визуализация данных. В составе пакета MATLAB имеется большое количество функций для построения графиков, в том числе трехмерных, визуального анализа данных и создания анимированных роликов.

Встроенная среда разработки позволяет создавать графические интерфейсы пользователя с различными элементами управления, такими как кнопки, поля ввода и другими.

Независимые приложения . Программы MATLAB, как консольные, так и с графическим интерфейсом пользователя, могут быть собраны с помощью компоненты MATLAB Compiler в независимые от MATLAB исполняемые приложения или динамические библиотеки, для запуска которых на других компьютерах, однако, требуется установка свободно распространяемой среды MATLAB Compiler Runtime (MCR).

Внешние интерфейсы. Пакет MATLAB включает различные интерфейсы для получения доступа к внешним подпрограммам, написанным на других языках программирования, данным, клиентам и серверам, общающимся через технологии Component Object Model или Dynamic Data Exchange, а также периферийным устройствам, которые взаимодействуют напрямую с MATLAB. Многие из этих возможностей известны под названием MATLAB API.

COM. Пакет MATLAB предоставляет доступ к функциям, позволяющим создавать, манипулировать и удалять COM-объекты (как клиенты, так и серверы). Поддерживается также технология ActiveX. Все COM-объекты принадлежат к специальному COM-классу пакета MATLAB. Все программы, имеющие функции контроллера автоматизации (англ.Automation controller ) могут иметь доступ к MATLAB как к серверу автоматизации (англ.Automation server ).

.NET. Пакет MATLAB в Microsoft Windows предоставляет доступ к программной платформе.NET Framework. Имеется возможность загружать.NET сборки (Assemblies) и работать с объектами.NET классов из среды MATLAB. В версии MATLAB 7.11 (R2010b) поддерживается.NET Framework версий 2.0, 3.0, 3.5 и 4.0.

DDE. Пакет MATLAB содержит функции, которые позволяют ему получать доступ к другим приложениям среды Windows, равно как и этим приложениям получать доступ к данным MATLAB, посредством технологии динамического обмена данными (DDE). Каждое приложение, которое может быть DDE-сервером, имеет свое уникальное идентификационное имя. Для MATLAB это имя -Matlab .

Веб-сервисы. В MATLAB существует возможность вызывать методы веб-сервисов. Специальная функция создает класс, основываясь на методах API веб-сервиса.

MATLAB взаимодействует с клиентом веб-сервиса с помощью принятия от него посылок, их обработки и посылок ответа. Поддерживаются следующие технологии: Simple Object Access Protocol (SOAP) и Web Services Description Language (WSDL).

COM-порт. Интерфейс для последовательного порта пакета MATLAB обеспечивает прямой доступ к периферийным устройствам, таким как модемы, принтеры и научное оборудование, подключающееся к компьютеру через последовательный порт (COM-порт). Интерфейс работает путем создания объекта специального класса для последовательного порта. Имеющиеся методы этого класса позволяют считывать и записывать данные в последовательный порт, использовать события и обработчики событий, а также записывать информацию на диск компьютера в режиме реального времени. Это бывает необходимо при проведении экспериментов, симуляции систем реального времени и для других приложений.

MEX-файлы. Пакет MATLAB включает интерфейс взаимодействия с внешними приложениями, написанными на языках C и Фортран. Осуществляется это взаимодействие через MEX-файлы. Существует возможность вызова подпрограмм, написанных на C или Фортране из MATLAB, как будто это встроенные функции пакета. MEX-файлы представляют собой динамически подключаемые библиотеки, которые могут быть загружены и исполнены интерпретатором, встроенным в MATLAB. MEX-процедуры имеют также возможность вызывать встроенные команды MATLAB.

DLL. Интерфейс MATLAB, относящийся к общим DLL позволяет вызывать функции, находящиеся в обычных динамически подключаемых библиотеках, прямо из MATLAB. Эти функции должны иметь C-интерфейс.

Кроме того, в MATLAB имеется возможность получить доступ к его встроенным функциям через C-интерфейс, что позволяет использовать функции пакета во внешних приложениях, написанных на C. Эта технология в MATLAB называется C Engine .

Альтернативные пакеты. Существует большое количество программных пакетов для решения задач численного анализа. Многие из таких пакетов являются свободным программным обеспечением.

Совместимые с MATLAB на уровне языка программирования :

Близкие по функциональности :

APLи его потомки: напримерJ

Python, при использовании пакета программPython(x,y), а также с такими библиотеками какNumPy,SciPyиmatplotlibреализует сходные возможности.

IDL(англ.Interactive Data Language , интерактивный язык описания данных), когда-то был коммерческим конкурентом MATLAB, сейчас остается серьезным конкурентом во многих прикладных областях, хотя его доля на рынке программных продуктов для численного анализа резко упала.

Fortress, язык программирования, созданный Sun Microsystems, является наследником Фортрана, но с ним не совместим.

При необходимости разработки больших проектов для численного анализа возможно использование языков программирования общего назначения, поддерживающих статическую типизацию и модульную структуру. Примерами могут служить Modula-3,Haskell,Ада,Java. При этом рекомендуется использовать известные в научно-инженерной среде специализированные библиотеки.

2. Наборы инструментов пакета Matlab

В Matlab важная роль отводится специализированным группам программ, называемых toolboxes . Toolboxes - это всесторонняя коллекция функций (m-файлов), написанных на языке MATLAB для решения определенного класса задач. Компания Mathworks поставляет наборы инструментов, которые используются во многих областях, включая следующие:

Цифровая обработка сигналов, изображений и данных : DSP Toolbox , Image Processing Toolbox , Wavelet Toolbox , Communication Toolbox , Filter Design Toolbox - наборы функций, позволяющих решать широкий спектр задач обработки сигналов, изображений, проектирования цифровых фильтров и систем связи.

Системы управления : Control Systems Toolbox , µ-Analysis and Synthesis Toolbox , Robust Control Toolbox , System Identification Toolbox , LMI Control Toolbox , Model Predictive Control Toolbox , Model-Based Calibration Toolbox - наборы функций, облегчающих анализ и синтез динамических систем, проектирование, моделирование и идентификацию систем управления, включая современные алгоритмы управления, такие как робастное управление, H∞-управление, ЛМН-синтез,µ-синтези другие.

Финансовый анализ : GARCH Toolbox , Fixed-Income Toolbox , Financial Time Series Toolbox , Financial Derivatives Toolbox , Financial Toolbox , Datafeed Toolbox - наборы функций, позволяющие быстро и эффективно собирать, обрабатывать и передавать различную финансовую информацию.

Анализ и синтез географических карт, включая трехмерные : Mapping Toolbox .

Сбор и анализ экспериментальных данных : Data Acquisition Toolbox , Image Acquisition Toolbox , Instrument Control Toolbox , Link for Code Composer Studio - наборы функций, позволяющих сохранять и обрабатывать данные, полученные в ходе экспериментов, в том числе в реальном времени. Поддерживается широкий спектр научного и инженерного измерительного оборудования.

Визуализация и представление данных : Virtual Reality Toolbox - позволяет создавать интерактивные миры и визуализировать научную информацию с помощью технологий виртуальной реальности и языка VRML.

Средства разработки : MATLAB Builder for COM , MATLAB Builder for Excel , MATLAB Builder for NET , MATLAB Compiler , Filter Design HDL Coder - наборы функций, позволяющих создавать независимые приложения из среды MATLAB.

Взаимодействие с внешними программными продуктами : MATLAB Report Generator , Excel Link , Database Toolbox , MATLAB Web Server , Link for ModelSim - наборы функций, позволяющие сохранять данные таким образом, чтобы другие программы могли с ними работать.

Базы данных : Database Toolbox - инструменты работы с базами данных.

Научные и математические пакеты : Bioinformatics Toolbox , Curve Fitting Toolbox , Fixed-Point Toolbox , Fuzzy Logic Toolbox , Genetic Algorithm and Direct Search Toolbox , OPC Toolbox , Optimization Toolbox , Partial Differential Equation Toolbox , Spline Toolbox , Statistic Toolbox , RF Toolbox - наборы специализированных математических функций, позволяющие решать широкий спектр научных и инженерных задач, включая разработку генетических алгоритмов, решения задач в частных производных, целочисленные проблемы, оптимизацию систем и другие.

Нейронные сети : Neural Network Toolbox - инструменты для синтеза и анализа нейронных сетей.

Нечеткая логика : Fuzzy Logic Toolbox - инструменты для построения и анализа нечетких множеств.

Символьные вычисления : Symbolic Math Toolbox - инструменты для символьных вычислений с возможностью взаимодействия с символьным процессором программы Maple.

Помимо вышеперечисленных, существуют тысячи других наборов инструментов для MATLAB, написанных другими компаниями и энтузиастами.

Те, кто имеет дело с высшей математикой, прекрасно знают, с какими математическими «чудовищами» иногда приходится сталкиваться. Например, на вычисление какого-нибудь гигантского тройного интеграла можно потратить настоящую уйму времени, душевных сил и не восстанавливающихся нервных клеток. Конечно, это очень интересно, бросить вызов интегралу, и взять его. Но, что делать, если вместо этого интеграл грозиться взять Вас? Или, что еще хуже, кубический трехчлен вышел из-под контроля и разбушевался? Такого и врагу не пожелаешь.

Раньше вариантов было всего два: плюнуть на все и пойти гулять или вступить в многочасовую схватку с интегралом. Ну, кому многочасовую, кому многоминутную – кто как учился. Но суть не в этом. Двадцатый век и неумолимо движущийся прогресс предлагают нам третий способ, а именно позволяют взять самый сложный интеграл «по-быстрому». То же самое касается решения всевозможных уравнений, построения графиков функций в виде кубических гиперболоидов и т.д.

Для таких неординарных, но периодически случающихся среди студентов ситуаций существует мощное математическое оружие. Встречайте, кто еще не знает – пакет программ MATLAB.

Матлаб и решит уравнение, и аппроксимирует, и построит график функции. Понимаете, что это значит, друзья?

Это значит, что – один из мощнейших на сегодняшний день пакетов обработки данных. Название расшифровывается как Matrix Laboratory. Матричная Лаборатория, если по-русски. Возможности программы покрывают практически все области математики. Так, пользуясь матлабом, Вы сможете:

• Производить всевозможные операции над матрицами, решать линейные уравнения, работать с векторами;
• Вычислять корни многочленов любой степени, производить операции над многочленами, дифференцировать, экстраполировать и интерполировать кривые, строить графики любых функций;
• Проводить статистический анализ данных с использованием цифровой фильтрации, статистической регрессии;
• Решать дифференциальные уравнения. В частных производных, линейных, нелинейных, с граничными условиями – не важно, матлаб все решит;
• Выполнять операции целочисленной арифметики.

Помимо всего этого возможности MATLAB позволяют визуализировать данные вплоть до построения трехмерных графиков и создания анимированных роликов.

Наше описание матлаб, конечно, далеко не полное. Помимо предусмотренных производителем возможностей и функций существует огромное количество инструментов матлаб, написанных просто энтузиастами или другими компаниями.

MATLAB как язык программирования

А еще – это язык программирования, используемый непосредственно при работе с программой. Не будем вдаваться в подробности, скажем только, что программы, написанные на языке MATLAB, бывают двух видов: функции и скрипты.

Основной рабочий файл программы – М-файл. Это бесконечный текстовый файл, и именно в нем происходит непосредственно программирование вычислений. Кстати, пусть Вас не пугает это слово – для того, чтобы работать в MATLAB, вовсе не нужно быть профессиональным программистом.

М-файлы делятся на

• М-сценарии. М-сценарий – самый простой тип M-файла, у которого отсутствуют входные и выходные аргументы. Данный файл используется для автоматизации многократно повторяемых вычислений.
• M-функции. М-функции – это М-файлы, допускающие наличие входных и выходных аргументов.

Для того чтобы наглядно показать, как происходит работа в MATLAB, приведем ниже пример создания функции в матлабе. Данная функция будет вычислять среднее значение вектора.
f unction y = average (x)
% AVERAGE Среднее значение элементов вектора.
% AVERAGE(X), где X - вектор. Вычисляет среднее значение элементов вектора.
% Если входной аргумент не является вектором, генерируется ошибка.
= size(x);
if (~((m == 1) | (n == 1)) | (m == 1 & n == 1))
error("Входной массив должен быть вектором’)
end
y =sum(x)/length(x); % Собственно вычисление

Строка определения функции сообщает системе MATLAB, что файл является М-функцией, а также определяет список входных аргументов. Так, строка определения функции average имеет вид:
function y = average(x)
Где:

1. function - ключевое слово, определяющее М-функцию;
2. y - выходной аргумент;
3. average - имя функции;
4. x - входной аргумент.

Итак, чтобы написать функцию в матлабе, необходимо помнить, что каждая функция в системе MATLAB содержит строку определения функции, подобную приведенной.

Безусловно, такой мощный пакет нужен не только для того, чтобы облегчить жизнь студентам. В настоящее время MATLAB, с одной стороны, очень популярен среди специалистов многих научных и инженерных отраслей. С другой стороны, возможность работы с большими матрицами делает MATLAB незаменимым инструментом финансовых аналитиков, позволяющим решить намного больше задач, чем, к примеру, известный всем Excel. Подробнее о том, вы можете прочитать в обзорной статье.

Недостатки работы с MATLAB

Какие есть трудности в работе с MATLAB? Трудность, пожалуй, всего одна. Но фундаментальная. Чтобы полностью раскрыть возможности MATLAB и с легкостью решать встающие перед Вами задачи, придется попотеть и сначала разобраться с самим матлабом (как создать файл, как создать функцию и др.). А это не так просто, ибо мощность и широкие возможности требуют жертв.

При всем желании нельзя сказать, что MATLAB – простая программа. Тем не менее, надеемся, все вышеперечисленное будет достаточным аргументом для того, чтобы взяться за ее освоение.

И напоследок. Если Вы не знаете, почему все в Вашей жизни пошло так, а не иначе, спросите об этом у матлаба. Просто наберите в командной строке “why” (почему). Он ответит. Попробуйте!

Теперь вы знаете возможности Матлаб. В области образования MATLAB часто используется в преподавании численных методов и линейной алгебры. Многим студентам не обойтись без него при обработке результатов эксперимента, проведенного в ходе лабораторной работы. Для быстрого и качественного освоения основ работы с MATLAB Вы всегда можете обратиться к , в любой момент готовым ответить на любой Ваш вопрос.